¿Por qué es el vector de precio ortogonal al vector que conecta dos paquetes en el hiperplano de presupuesto?

Question

Aquí está mi versión/revisión de por qué el vector de precios es ortogonal a cualquier vector de un conjunto en el hiperplano del presupuesto a otro conjunto en el hiperplano: (ver abajo la pregunta original)

Quiero demostrar geométricamente que el hiperplano del presupuesto es en términos relativos de intercambio. Esto es una manera elegante de decir que representa la 'proporción' de los precios entre cualquier dos bienes. Para simplificar, veamos $L=2$. Tenemos dos opciones para una proporción: ya sea $\frac{p_1}{p_2}$ o $\frac{p_2}{p_1}$. ¿Cuál sería? La forma en que el vector de precios está construido es p$=(p_1,p_2)$, así que cuando dibujas este vector desde cualquier punto en la línea de presupuesto que está inclinada negativamente en el caso de $L=2$, el vector es esencialmente la pendiente (por ejemplo, aumento sobre corrida) de $\frac{p_2}{p_1}$. Entonces, obviamente, si la línea de presupuesto inclinada negativamente supuestamente representa la proporción de precios, entonces tiene que ser el caso $\frac{-p_1}{p_2}$. De hecho, esto se sostiene desde la definición del conjunto de presupuesto de Walras donde $w=x\cdot p$.

Cuando observamos un típico conjunto de presupuesto de Walras en $\mathbb{R^+_2}$, ¿por qué es ortogonal el vector de precios al vector de consumo (por ejemplo, cualquiera en la inclinación) en el hiperplano del presupuesto? Esto se remonta al Capítulo 2 de MWG.
Entiendo la explicación analítica usando el producto punto.

$p\cdot x=p\cdot x'=w$ para $x,x'\in\{x\in\mathbb{R^+_2}:p\cdot x=w\}$.
Por lo tanto, $p\cdot\Delta x=0$.

Pero estoy teniendo dificultades para entender dos cosas:

(Q) ¿Por qué esta ortogonalidad entre el vector de precios y el vector de consumo en el hiperplano se relaciona con la pendiente de la línea de presupuesto determinando la tasa de intercambio relativa entre dos bienes? ¿Cómo haces sentido entre la intuición y la interpretación geométrica?

¡Gracias por tu pensamiento!

Answer 1

Tenga en cuenta que $p$ no es ortogonal a los vectores de consumo en la línea de presupuesto, pero sí es ortogonal a cualquier vector $v$ que cumpla $x+v=x'$ con $x, x'$ en la línea de presupuesto. MWG dibuja vectores comenzando desde algún $x$.

Sobre la pendiente: En la línea de presupuesto se puede ver que la pendiente para cualquier $x$ es $D_x (p.x)=p$ (que es la línea que se dibuja desde $x$). Esa línea o vector se puede representar con la función $x_2=(p_2/p_1)*x_1$ (note que si $x_1=p_1$, $x_2=p_2$). La pendiente es $p_2/p_1$.

Por otro lado, todos los vectores en la línea de presupuesto satisfacen $x_2=(-p_1/p_2)*x_1+w/p_2$. La pendiente aquí es $(-p_1/p_2)$. Esta pendiente es la tasa de intercambio. Ambas pendientes implican que las dos funciones (el vector $p$ y la línea de presupuesto) son ortogonales. O quizás es mejor decir que la ortogonalidad entre la línea de presupuesto y el vector $p$ implica que $dx_2/dx_1=-p_1/p_2$, es decir, el último término captura la tasa de intercambio.