Confundido por la derivación del pago del canje de la varianza

Question

Estoy tratando de seguir https://en.wikipedia.org/wiki/Variance_swap#Pricing_and_valuation

donde me parece que están restando un simple retorno: $$ R_t = \frac{\mathrm{d}S_t}{S_t} = \mu \mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}Z_t $$

del retorno del registro: $$ r_t = \mathrm{d}(\mathrm{log} S_t) = \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2} \right) \mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}Z_t $$

para conseguir

$$ R_t - r_t = \frac{\mathrm{d}S_t}{S_t} - \mathrm{d}(\mathrm{log}S_t) = \frac{\sigma^2}{2}\mathrm{d}t $$

Obviamente me estoy perdiendo algo obvio, pero ¿cómo puede depender esa diferencia de la volatilidad y/o del tiempo transcurrido? ¿No hay un mapeo directo de 1 a 1 entre los rendimientos simples y logarítmicos ( $ R_t = e^{r_t} - 1 $ )? ¿Hay algún valor esperado implícito que se me escapa?

Answer 1

Con las definiciones integrales de $r_t$ y $R_t$ Sí que tenemos:

$$ r_t := \int_0^t d(\ln S_u) = \ln S_t - \ln S_0 \color{green}= \ln \left( \frac{S_t}{S_0}\right),$$

pero:

$$ R_t := \int_0^t \frac{dS_u}{S_u} \color{red}{\not=} \frac{S_t - S_0}{S_0} \color{green}= {\rm e}^{r_t} -1. $$

En el lenguaje de los diferenciales simbólicos:

$$ \frac{dS_u}{S_u} \color{red}{\not=} \frac{dS_u}{S_0}. $$