Estabilidad de norma máxima para la ecuación implícita de Black-Scholes

Question

Estoy tratando de demostrar la máxima estabilidad de la norma para la siguiente aproximación implícita a la ecuación de Black-Scholes

$$\frac1{\Delta t}\left(U_j^{(n+1)}-U_j^{(n)}\right)+\frac{rS_j}{\Delta S}\left(U_{j+1}^{(n)}-U_j^{(n)}\right)+\frac{\sigma^2S_j^2}{2\Delta S^2}\left(U_{j+1}^{(n)}-2U_j^{(n)}+U_{j-1}\right)=rU_j^{(n)}$$

con las condiciones finales $U^{(N)}_j=u(S_j,T)$ , $U^{(N)}_0=u(0,T)\mathrm{e}^{-r(T-t_n)}$ y $U_j^{(n)}\to0$ como $j\to\infty$ . Definición de $S_j=j\Delta S$ y $t_n=n\Delta t$ y reordenando, obtengo

\begin{align*} U_j^{(n+1)}&=-\left(\frac{\sigma^2j^2\Delta t}2\right)U_{j-1}^{(n)}+\left[1+r(1+j)\Delta t+\sigma^2j^2\Delta t\right]U_j^{(n)}-\left(rj\Delta t+\frac{\sigma^2j^2\Delta t}2\right)U_{j+1}^{(n)}\\ &=a_jU_{j-1}^{(n)}+b_jU_j^{(n)}+c_jU_{j+1}^{(n)}. \end{align*}

Se me pide que demuestre que $(1+r\Delta t)\max_j|U_j^{(n)}|\leq\max|U_j^{(n+1)}|$ que a su vez implica la máxima estabilidad de la norma.

Todo lo que sé es que para ecuaciones implícitas como éstas debo satisfacer $a_j,\,c_j\leq0$ y $a_j+b_j+c_j\geq1$ , lo que definitivamente se satisface aquí, pero no sé cómo justificar la desigualdad solicitada. Sé que el coeficiente del lado izquierdo es $a_j+b_j+c_j=1+r\Delta t$ pero dada la negatividad de dos de los coeficientes, no tengo claro cómo conectar los dos argumentos (ni nada con el principio de monotonicidad/máximo discreto). ¡Se agradece cualquier consejo!

(NB: He trasladado este post desde MSE ya que probablemente no era lo más apropiado que estuviera allí).

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin{align*} U_j^{(n)} &= \frac{U_j^{(n+1)} - a_jU_{j-1}^{(n)} - c_jU_{j+1}^{(n)}}{b_j}\\ &\le \frac{\max_j|U_j^{(n+1)}| - a_j\max_j|U_j^{(n)}| - c_j\max_j|U_j^{(n)}|}{b_j}. \end{align*} Además, existe $j_0$ tal que \begin{align*} &\ \frac{\max_j|U_j^{(n+1)}| - a_{j_0}\max_j|U_j^{(n)}| - c_{j_0}\max_j|U_j^{(n)}|}{b_{j_0}} \\ =&\ \max_j \frac{\max|U_j^{(n+1)}| - a_j\max_j|U_j^{(n)}| - c_j\max_j|U_j^{(n)}|}{b_j}. \end{align*} Eso es, \begin{align*} \max_j|U_j^{(n)}| &\le \max_j \frac{\max|U_j^{(n+1)}| - a_j\max_j|U_j^{(n)}| - c_j\max_j|U_j^{(n)}|}{b_j}\\ &= \frac{\max_j|U_j^{(n+1)}| - a_{j_0}\max_j|U_j^{(n)}| - c_{j_0}\max_j|U_j^{(n)}|}{b_{j_0}}. \end{align*} Entonces, \begin{align*} (1+r\Delta t)\max_j|U_j^{(n)}|\leq\max|U_j^{(n+1)}|. \end{align*}