¿Calcular el valor acumulado de una renta vitalicia con pagos cambiantes?

Question

En una serie de 40 pagos, los primeros 10 pagos son 10 cada uno, los segundos 10 pagos son 20 cada uno, los terceros 10 pagos son 30 cada uno y los últimos 10 pagos son 40 cada uno. Los pagos están igualmente espaciados y el tipo de interés es del 5% por período de pago. Encuentre el valor acumulado en el momento del último pago.

Esto es lo que hice, pero obtuve la respuesta incorrecta y no estoy seguro de lo que estoy haciendo mal:

10[((1.05)^10 - 1)/0.05] x (1.05)^30 + 20[((1.05)^10 - 1)/0.05] x (1.05)^20 +
30[((1.05)^10 - 1)/0.05] x (1.05)^10 + 40[((1.05)^10 - 1)/0.05] x (1.05) =

2353.98

Answer 1

El primer pago de 10 acumula 40 ciclos de intereses, es decir 10*1.05^40 y el último pago de 40 acumula 1 ciclo de intereses, 40*1.05 . Para obtener el total se suman todos los pagos intermedios :-

10*1.05^40 + 10*1.05^39 + 10*1.05^38 + 10*1.05^37 + 10*1.05^36 +
10*1.05^35 + 10*1.05^34 + 10*1.05^33 + 10*1.05^32 + 10*1.05^31 +
20*1.05^30 + 20*1.05^29 + 20*1.05^28 + 20*1.05^27 + 20*1.05^26 +
20*1.05^25 + 20*1.05^24 + 20*1.05^23 + 20*1.05^22 + 20*1.05^21 +
30*1.05^20 + 30*1.05^19 + 30*1.05^18 + 30*1.05^17 + 30*1.05^16 +
30*1.05^15 + 30*1.05^14 + 30*1.05^13 + 30*1.05^12 + 30*1.05^11 +
40*1.05^10 + 40*1.05^9 + 40*1.05^8 + 40*1.05^7 + 40*1.05^6 +
40*1.05^5 + 40*1.05^4 + 40*1.05^3 + 40*1.05^2 + 40*1.05 =

2445.27

De forma más breve :-

Expresado de forma alternativa :-

Así que resolviendo el valor futuro, v :-

Utilizando este resultado se puede calcular el valor futuro de forma más sucinta :-

10*1.05*(1.05^10 - 1)/0.05 + 10*1.05*(1.05^20 - 1)/0.05 +
10*1.05*(1.05^30 - 1)/0.05 + 10*1.05*(1.05^40 - 1)/0.05 =

2445.27

Nota

De esta forma se obtiene el total después de 40 períodos, dando al último pago un período para acumular intereses. Si, como usted dice, quiere saber el total en el momento en que se realiza el último pago, entonces habría que deducir un ciclo de intereses de cada plazo, es decir, primer plazo 10*1.05^39 ; el último trimestre, simplemente 40. Sin embargo, imagino que probablemente quieras los 40 periodos completos.

10*1.05^39 + 10*1.05^38 + 10*1.05^37 + 10*1.05^36 + 10*1.05^35 + 
10*1.05^34 + 10*1.05^33 + 10*1.05^32 + 10*1.05^31 + 10*1.05^30 +
20*1.05^29 + 20*1.05^28 + 20*1.05^27 + 20*1.05^26 + 20*1.05^25 + 
20*1.05^24 + 20*1.05^23 + 20*1.05^22 + 20*1.05^21 + 20*1.05^20 +
30*1.05^19 + 30*1.05^18 + 30*1.05^17 + 30*1.05^16 + 30*1.05^15 + 
30*1.05^14 + 30*1.05^13 + 30*1.05^12 + 30*1.05^11 + 30*1.05^10 +
40*1.05^9 + 40*1.05^8 + 40*1.05^7 + 40*1.05^6 + 40*1.05^5 +
40*1.05^4 + 40*1.05^3 + 40*1.05^2 + 40*1.05 + 40 =

2328.82

(El usuario58220 ha publicado la fórmula de esta versión).

Answer 2

Otra forma, quizás más sencilla, de ver y calcular el resultado.

Encuentre el valor futuro, en el momento del último pago, de 4 anualidades ordinarias, todas con pagos idénticos de 10 dólares cada una, y un tipo de interés del 5% por período de pago. Las cuatro anualidades tienen duraciones de 40, 30, 20 y 10 pagos, y todas terminan en el mismo momento.

Así que hay que evaluar

FV = 10 * (1.05^N - 1) / 0.05  

para N = 10, 20, 30, y 40, y sumar los resultados...

Deberías conseguir $2328.8246