Por interés, ¿hay algo digno de mención en un mercado cuando su medida en el mundo real $\mathbb P$ es en realidad también su medida de martingala. En otras palabras, la medida del mundo real $\mathbb P$ es igual a la medida martingala $\mathbb Q$ . En particular, el caso cuando el mercado es completo sería interesante, ya que así obtendríamos que la medida del mundo real es la única medida de martingala (dado que no hay arbitraje).
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Se desplaza por debajo de $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{P}$
Algunas buenas respuestas ya. Permítanme repetir para mayor claridad: bajo la medida de riesgo neutral $\mathbb{Q}$ la deriva de todos los activos tiene que ser igual a la tasa de apreciación del Numerario es decir, normalmente es el tipo libre de riesgo $r$ del mercado monetario.
La razón es el argumento del "no arbitraje":
- Supongamos que hay un activo que cuesta $S_{t_0}$ dinero hoy
- puedes pedir prestado $S_{t_0}$ dinero hoy y comprar una unidad del activo
- podría vender el activo en una fecha futura $t_1$ por el precio $S_{t_1}$ (este precio es desconocido en el momento $t_0$ )
- en $t_1$ tendrá que devolver el dinero prestado con los intereses devengados al tipo numérico, es decir, tendrá que devolver $S_{t_0}e^{r(t_1-t_0)}$
Supongamos que alguien quiere comprar un contrato a plazo sobre el activo $S$ en el momento $t_0$ que expira en el momento $t_1$ . ¿Cuál debe ser el precio del contrato a plazo? Tiene que ser $S_{t_0}e^{r(t_1-t_0)}$ De lo contrario, se produciría un arbitraje.
Si modelamos el proceso de precios del activo $S(t)$ a través de alguna ecuación diferencial estocástica, dicha ecuación tendrá una parte estocástica y otra de deriva. Normalmente elegimos que la parte estocástica sea una difusión del tipo $W_t$ que es cero en la expectativa. Así, la deriva determina el valor futuro esperado del activo $S_t$ . Por eso la deriva de la medida $\mathbb{Q}$ tiene que ser igual a $e^{rt}$ (si asumimos una capitalización continua), de lo contrario el valor esperado del activo $\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[S_{t_1}]$ no sería igual a $S_{t_0}e^{r(t_1-t_0)}$ y el contrato a plazo tendría un precio erróneo bajo $\mathbb{Q}$ .
Así que en conclusión, la medida de riesgo neutral $\mathbb{Q}$ es una herramienta matemática utilizada únicamente para la fijación de precios de los Activos en condiciones de no arbitraje: cuando tomamos una expectativa bajo la medida de riesgo neutral $\mathbb{Q}$ de una distribución futura del precio de un activo, la expectativa bajo $\mathbb{Q}$ no pretende reflejar el valor futuro "medio" o "el valor que el mercado espera por término medio"; en cambio, la expectativa sólo da el precio sin arbitraje y no tiene ningún significado probabilístico en el sentido de "probabilidad de resultados". .
¿Cómo es que $\mathbb{P}$ el trabajo en la práctica
La medida del mundo real $\mathbb{P}$ pretende reflejar la distribución futura de los precios de los activos en términos de lo que los participantes en el mercado creen realmente (es decir, creen en el sentido de "probabilidad de resultados"). Es difícil encontrar una medida única $\mathbb{P}$ incluso para un activo, porque cada participante del mercado tendrá su propia visión bayesiana sobre los resultados futuros.
Pero he aquí un ejemplo práctico de $\mathbb{P}$ Si nos fijamos en las tasas históricas de impago de los bonos corporativos en EE.UU., vemos que éstas son baja que la prima de rendimiento media de estos bonos (es decir, la prima de rendimiento por encima del tipo "sin riesgo" de los bonos del Tesoro de EE.UU.): esto nos indica que el precio al que los inversores están dispuestos a comprar estos bonos corporativos es tal que el rendimiento (es decir, la rentabilidad) de estos bonos es (durante largos periodos de tiempo) mayor no sólo que los bonos ultraseguros del Tesoro de EE.UU., pero también lo suficientemente altos como para que los inversores obtengan rentabilidad incluso si (a veces) algunos de los emisores de bonos corporativos incumplen. Esto nos dice que bajo la medida del mundo real $\mathbb{P}$ El mercado en su conjunto es capaz de juzgar la rentabilidad real esperada en el futuro de estos bonos corporativos y fijar su precio de tal manera que la rentabilidad real realizada sea superior al punto de equilibrio (es decir, la deriva bajo $\mathbb{P}$ es mayor que $e^{rt+dt}$ , donde $d$ representa la frecuencia anual por defecto).
Ejemplos de $\mathbb{P}=\mathbb{Q}$
Así que en conclusión, si $\mathbb{P}$ = $\mathbb{Q}$ entonces las derivas de los procesos estocásticos que elegimos para modelar los activos de riesgo serían las mismas bajo ambas medidas y esto significaría que:
(i) Los inversores en activos de riesgo no exigen una prima de riesgo por encima del activo libre de riesgo (eso es totalmente irreal: es decir, ¿por qué los inversores comprarían bonos corporativos basura con el mismo rendimiento que los bonos del Tesoro estadounidense o los Bunds alemanes? ¿O por qué los inversores comprarían una acción de crecimiento de riesgo sin ingresos, pero con la promesa de un ingreso (estocástico) en el futuro, y sólo esperarían obtener el mismo rendimiento que con los seguros bonos del Tesoro estadounidense o los Bunds alemanes?)
(ii) También significaría que los creadores de mercado de derivados de riesgo están contentos de vender derivados como CDS u Opciones con la misma prima de riesgo que el activo libre de riesgo: de nuevo, totalmente irreal, porque el riesgo del mundo real asumido por el emisor de CDS es real y están dispuestos a suscribir CDS precisamente porque les compensa asumir este riesgo; es decir, pueden obtener una mayor rentabilidad que si se quedan sentados en casa mientras invierten en algún activo sin riesgo.
(iii) Otra interpretación de $\mathbb{Q}=\mathbb{P}$ sería que todo el riesgo del mundo real desaparecería y todos los activos no tendrían riesgo: esto podría ser así en algún universo ficticio no estocástico (diferente al que vivimos)
