Derivación del coeficiente de aversión al riesgo

Question

Considerando la formulación parametrizada del criterio de media-varianza de Markowitz, el coeficiente de aversión al riesgo $\lambda$ se puede derivar como sigue.

1. Como sugieren Arrow y Pratt, dada la función de utilidad del inversor $U(x)$ , $\lambda$ para un determinado nivel de riqueza inicial $x$ se puede aproximar recurriendo al absoluto $A_a$ y relativa $A_r$ Medidas de aversión al riesgo de Arrow-Prat.

$$A_a(x)=-\frac{U''(x)}{U'(x)}$$

$$A_r(x)=-x\frac{U''(x)}{U'(x)}$$

2. Derivando toda la frontera eficiente, es posible obtener $\lambda$ implícitamente. Sería la que conduce al nivel de riesgo preferido.

Me preguntaba si hay otros enfoques para calcular dicho coeficiente sin necesidad de identificar la función de utilidad. He podido encontrar uno que calcula $\lambda$ como sigue pero no entiendo la idea que hay detrás con la excepción de que se asemeja vagamente al Safety First Ratio o ratio de Sharpe con $r_f=0$ . En concreto, si $\mu_B$ y $\sigma^2_B$ son, respectivamente, la rentabilidad y la varianza esperadas de un índice de referencia $B$ entonces

$$\lambda=\frac{\mu_B}{2\sigma^2_B}.$$

Es curioso el hecho de que para el mismo nivel de $\mu_B$ cuando $\sigma^2_B\to +\infty$ el coeficiente $\lambda\to0$ . ¿Cumple este resultado con la teoría de la elección? Parece estar más relacionado con la teoría de la perspectiva o, dado que no hay otros parámetros, esta fórmula parece implicar únicamente un comportamiento de búsqueda de riesgo.

Answer 1

Entiendo que quiere derivar algún tipo de parámetro de preferencia de riesgo a partir de las carteras que puede observar "en la naturaleza", y lo discutiré en consecuencia. Como nota al margen, hay toda una hilo de la literatura que discute la elicitabilidad de las preferencias de riesgo mediante experimentos de elección inteligentemente diseñados - y la forma de la función de utilidad. El enlace es un ejemplo aleatorio.

RE su pregunta

Las medidas AP se definen localmente y pueden utilizarse (en teoría) para comparar la aversión al riesgo entre los agentes. Las medidas AP requieren una forma de utilidad funcional de la función de utilidad, y requieren que se calculen sus primeras y segundas derivadas.

En la práctica, se necesitaría una forma de calcular una segunda derivada (numéricamente: al menos tres puntos de datos).

SI se asume una forma funcional en primer lugar, se puede encontrar su parámetro de preferencia de riesgo bajo algunas restricciones adicionales, creo. A continuación, discutiré dos casos: Uno en el que se puede obtener el parámetro, y otro en el que esto no es posible (creo).

Supuestos

Nuestro agente es averso al riesgo con una función de utilidad CARA $u(x)=1-e^{-\gamma x}$ con el parámetro de aversión al riesgo $\gamma>0$ . El agente invierte en unos pesos de cartera $w$ y para simplificar, asumimos que los retornos logarítmicos se distribuyen normalmente, $x\sim N(\mu,\Sigma)$ . Como el agente quiere maximizar la utilidad esperada, los tenemos:

$$\begin{align} \max_{w}\mathrm{E(u(w))}&=\max_{w}\left(1-\mathrm{E}(e^{-\gamma w^Tx})\right)\\ &=\max_{w}\left(1-e^{-\gamma w^T\mu+\frac{1}{2}\gamma^2w^T\Sigma w}\right)\\ &\propto\max_{w}\left(w^T\mu-\frac{1}{2}\gamma w^T\Sigma w\right)\\ \end{align}$$ con sujeción a $\sum_i w_i=1$ es decir $w^Te=1$ con $e$ un vector de unos.

1. Cartera eficiente

En nuestro primer ejemplo, el agente se enfrenta no sólo al conjunto de inversiones de riesgo $x$ pero también un tipo libre de riesgo $r_f$ . Por lo tanto, su decisión de optimización de la cartera es

$$\max_{w}\quad w^T\mu-\frac{1}{2}\gamma w^T\Sigma w+\left(1-w^Te\right)r_f$$

con la condición de optimalidad

$$\gamma \Sigma w=\mu-er_f$$

Claramente, una vez que observamos la cartera de riesgo óptima $w^*$ podemos reescribir la condición de optimalidad y encontrar

$$\gamma (w^*)^T\Sigma w^*=(w^*)^T(\mu-er_f) \Rightarrow \gamma = \frac{(w^*)^T(\mu-er_f)}{(\sigma^*)^2}$$

2. No hay inversión sin riesgo Si, por el contrario, no hay ninguna inversión libre de riesgo disponible, el agente maximiza su utilidad esperada bajo una restricción de inversión completa, lo que da lugar a la FOC:

$$\begin{align} \gamma\Sigma w -\lambda e &= \mu\\ w^Te&=1 \end{align}$$

Como sólo podremos observar su cartera "óptima $w^*$ y no su parámetro óptimo de Lagrange $\lambda$ no podemos obtener su parámetro de aversión al riesgo $\gamma$ en este caso.

¿HORA DE LA VERDAD?

Apéndice

Para llegar a una respuesta a sus otros comentarios / post:

Digamos que se quiere medir el parámetro de aversión al riesgo dada una forma de utilidad (CARA, como la anterior) y un fracción de la riqueza que se invierte en el activo de riesgo. Entonces, en primer lugar, deberíamos observar que esto es intrínsecamente lo mismo que mi ejemplo 1. de arriba, pero en un entorno univariante sin una tasa libre de riesgo. No obstante, permítanme intentar esbozar el camino:

Todo se supone como en el caso anterior, y el agente decide una parte de la riqueza $W$ (en este punto, no restringido entre el 0% y el 100%) que se invierte en el activo de riesgo. Simplifiquemos y establezcamos $W=1$ entonces el consumo de riesgo es

$$c=(1-\alpha)+\alpha x$$

y con $x\sim N(\mu,\sigma^2)$ la utilidad esperada es

$$EU(\alpha)=1-e^{-\lambda (1-\alpha)-\alpha\lambda\mu+\frac{1}{2}\alpha^2\lambda^2\sigma^2}$$

La optimización de la utilidad esperada se asemeja a la maximización de

$$\max_{\alpha} \quad 1-\alpha + \alpha\mu-\frac{1}{2}\alpha^2\lambda\sigma^2$$

con FOC

$$\mu-1 =\alpha\lambda\sigma^2$$

y, por lo tanto, es capaz de retroceder el parámetro $\lambda$ a partir de una fracción de inversión observada $\alpha$ como

$$\lambda^* = \frac{\mu-1}{\alpha \sigma^2}$$

NB: No te preocupes por el $-1$ en el nominador, esto se debe a la forma en que se configuran los rendimientos y la utilidad. Si se hiciera con más cuidado, se llegaría efectivamente a $\lambda^* = \frac{\mu}{\alpha \sigma^2}$

¿HORA DE LA VERDAD?

Answer 2

EDITADO Dejemos que $x$ sea la riqueza disponible del inversor. Dado un punto de referencia $B$ que puede considerarse como una aproximación a la cartera de mercado, dejemos que $x_B$ la cantidad de riqueza invertida. Dejemos también $\mu_b$ y $\sigma^2_B$ sea la rentabilidad esperada y la varianza de $B$ respectivamente.

El inversor resuelve un compromiso entre invertir y no invertir considerando el perfil de riesgo-rentabilidad de $B$ . Las preferencias personales se expresan mediante $\lambda$ .

$$\max_{x_B}\mu_Bx_B-\lambda x_B^2\sigma_B^2$$

Entonces la condición de primer orden es

$$\frac{\partial f}{\partial x_B}=\mu_B-2\lambda x_B\sigma_B^2=0$$ lo que lleva a

$$\lambda=\frac{\mu_B}{2\sigma^2_Bx_B}$$