Prueba de no saturación local

Question

Llevo unos tres días con problemas de cómo seguir adelante con una prueba. Conozco la estructura básica de la prueba, pero no consigo construirla.

Básicamente, estoy tratando de hacer una prueba por contradicción para lo siguiente:

Diga $u: x \rightarrow \mathbb{R}$ no tiene máximos locales. Sea $p \in \mathbb{R^l}_{++}$ y $w>0$ . Demuestre que si $x^*$ es una solución al problema de maximización:

$$\max_x \ (u(x)) \ \text{s.t.} \ x \in B(p) = [x \in \mathbb{R^l}_{++} : p \cdot x \leq w]$$ entonces para todos $y \in \mathbb{R^l_{++}}$ tal que $u(y) \geq u(x^*)$ , entonces debe ser que $p \cdot y \geq w$

Así que se supone que debo hacer esta prueba por contradicción, (supongamos que tenemos $y \in \mathbb{R^l_{++}}$ tal que $u(y) \geq u(x^*)$ , entonces debe ser que $p \cdot y < w$ ) y utilizar el hecho de que $u$ no tiene un máximo local implica que la función $u$ es localmente no saturado:

$$\forall y \in \mathbb{R^l_{+}, \forall \epsilon > 0, \exists {y'} \in \mathbb{R^l_{+}}} \ \text{s.t.} \ \|y - y'\| < \epsilon \ \text{and} \ y' \succ y$$

Pero hace tiempo que estoy atascado. Cualquier ayuda se agradecería.

Answer 1

Supongamos por contradicción que existe $y$ tal que $p\cdot y<w$ y $u(y)\geq u(x^\ast)$ . Sea $$\epsilon^\ast= \frac{w-p\cdot y}{ \sum_i p_i}.$$ Entonces, para todos los $y'$ , si $\ \|y - y'\| < \epsilon^\ast$ Tendríamos $\left|y_i-y_i'\right|<\epsilon^\ast$ . Obsérvese que el coste de cualquier paquete $y'$ satisfaría $$ \begin{eqnarray} p\cdot y' &=& p_1 y'_1 + p_2 y'_2 + \dots +p_n y'_n\\ &<&p_1 (y_1+\epsilon^\ast) + p_2 (y_2+\epsilon^\ast) + \dots +p_n (y_n+\epsilon^\ast)\\ &=& p\cdot y+\epsilon^\ast\sum_i p_i \\ &=&p\cdot y + \frac{w-p\cdot y}{ \sum_i p_i} \sum_i p_i\\ &=& w \end{eqnarray} $$ que muestra que para $\epsilon^\ast$ Cada $y'$ satisfaciendo $\ \|y - y'\| < \epsilon^\ast$ es asequible.

Sin embargo, como $u$ es localmente no saciado, existe $y^\ast$ con $\ \|y - y^\ast\| < \epsilon^\ast$ tal que $y^\ast\succ y$ . Desde $y^\ast$ es asequible, es decir $y^\ast\in B(p)$ esto lleva a una contradicción con la suposición de que $x^\ast$ resuelve el problema de maximización de la utilidad porque la transitividad implica que $y^\ast\succ x^\ast.$

Answer 2

No estoy seguro de cómo debería funcionar aquí el método de prueba de la contradicción. Esta es mi opinión:

Ad absurdum , supongamos que $x^*$ resuelve el problema de maximización de la utilidad, y que tenemos $y \in \mathbb{R^l_{++}}$ tal que $u(y) \geq u(x^*)$ y que eso $p \cdot y < w$ . Así que $y$ es factible, y como $u()$ representa una relación de preferencia (racional y continua), $u(y) \geq u(x^*) \implies y \succeq x^*$ .

Además, queda algo de presupuesto. Como $x^*$ no es igual al vector cero, al menos uno de los elementos de los paquetes debe ser un bien (no todos pueden ser malos), digamos el primero, $y_1$ . Definir el haz $y'$ para que sea igual a $y$ bar $y_1$ y establecer la cantidad $y_1'>y_1$ tal que $p \cdot y' = w$ .

Así que $y'$ es factible, y $y'> y \implies y' \succeq y$ desde $y_1$ es una buena (pero hacemos no suponen que la no saturación local se mantiene, y por eso la relación de preferencia es débil. $y_1$ ser un bien sólo garantiza que el aumento de su cantidad no disminuya la utilidad). Así también $y' \succeq x^*$ .
Ya que por suposición $x^*$ resuelve el problema de maximización de la utilidad, tiene que darse el caso de que $u(y') \leq u(x^*) \leq u(y)$ .

Por lo tanto, bajo la ad absurdum supuesto, tenemos que

$$ y' > y, \;\;\;\; u(y') \leq u(y) \tag{1}$$

Nótese que esta relación con la que terminamos, ya no implica nada relacionado con el problema de maximización de la utilidad y/o la restricción presupuestaria. Es una conclusión que describe una propiedad de $u()$ como una función, bajo la ad absurdum asunción. Obsérvese también que $y'$ no es único -podemos formar muchos paquetes de este tipo, y si aceptamos que otros elementos de los paquetes son también bienes y no males, podemos repartir el presupuesto disponible restante para aumentar más de un elemento...

Concluyendo la prueba mostrando que $(1)$ (y cómo se puede ampliar) contradice la premisa de que $u()$ no tiene máximos locales es ahora fácil.