Casco blanco modelo Vasicek ampliado

Question

Estoy tratando de entender una fórmula que aparece en el histórico documento de Hull&White "Pricing Interest Rate Derivative Securities" (1990). No veo cómo reordenando (11) y aplicando las condiciones de contorno se obtiene (13) en la página 6 (como se indica a continuación).

Por favor, podrías darme una indicación y disculpas si es mi cálculo rudimentario el que falla.

Answer 1

Tienes razón, la ecuación (11) se deriva mecánicamente de (7) (tomando la derivada wrt a $T$ y luego combinarla con (7)), y de alguna manera piensan que (13) se puede obtener de (11) sin recordando (7). Tal vez integrando inteligentemente (nótese por ejemplo que $B_tB_T - BB_{tT}$ es el numerador de la derivada respecto a $t$ de la fracción $B/B_T$ ) y utilizando la condición de contorno (no he podido averiguarlo).

Por supuesto, lo que podemos hacer es resolver el ecuación lineal de primer orden en $t$ (7)

$$B_t = a(t)B-1.$$

Con las funciones primitivas habituales:

$$\alpha'(t) = a(t), \; \; \beta'(t) = -{\rm e}^{-\alpha(t)},$$

la solución general de la ecuación (7) es

$$B(t,T) = c(T){\rm e}^{\alpha(t)} + {\rm e}^{\alpha(t)}\beta(t),$$

con $c(T)$ función arbitraria de $T$ .

Como $B(T,T)=0$ debemos tener:

$$c (T)= -\beta(T).$$

Así que:

$$B(t,T) = -{\rm e}^{\alpha(t)} \left(\beta(T) - \beta(t)\right).$$

Entonces podemos comprobar fácilmente que esta solución respeta (13):

$$B(0,T) = -{\rm e}^{\alpha(0)} \left(\beta(T) - \beta(0)\right)$$

$$B(0,t) = -{\rm e}^{\alpha(0)} \left(\beta(t) - \beta(0)\right)$$

$$\partial B(0,t)/\partial t = -{\rm e}^{\alpha(0)}\beta'(t) = {\rm e}^{\alpha(0)} {\rm e}^{-\alpha(t)}$$

Editar : Obsérvese que (11) puede escribirse como:

$$(B_T)_t =\frac{1-B_t}{B}B_T$$ lo que equivale a $$(\ln B_T)_t = \frac{1-B_t}{B}.$$

En este punto tenemos que recordar de (7) que el lado derecho es una función de $t$ sólo, $a(t)$ De lo contrario, se hace engorroso avanzar desde aquí. La solución es $$B_T = {\rm e}^{\alpha (t) + \gamma (T)}$$ para $\gamma (T)$ una función arbitraria de $T$ . Integrar a los $T$ obtenemos:

$$B(t,T) = {\rm e}^{\alpha (t)} (\Gamma (T) + \eta (t))$$ para $\eta (t)$ una función arbitraria de $t$ y $\Gamma^\prime = {\rm e}^{\gamma}$ .

Condición límite $B(T,T)=0$ y luego las fuerzas:

$$\Gamma(T) = -\eta(T).$$

Así que,

$$B(t,T) = -{\rm e}^{\alpha(t)} \left(\eta(T) - \eta(t)\right).$$

Una vez más, señalando que

$$B_t = -{\rm e}^{\alpha(t)}a(t)\eta(T) + {\rm e}^{\alpha(t)}a(t) \eta(t) + {\rm e}^{\alpha(t)} \eta^\prime (t),$$

(7) implica entonces:

$$\eta(t) = \beta(t).$$