Estoy tratando de entender una fórmula que aparece en el histórico documento de Hull&White "Pricing Interest Rate Derivative Securities" (1990). No veo cómo reordenando (11) y aplicando las condiciones de contorno se obtiene (13) en la página 6 (como se indica a continuación).
Por favor, podrías darme una indicación y disculpas si es mi cálculo rudimentario el que falla.
Tienes razón, la ecuación (11) se deriva mecánicamente de (7) (tomando la derivada wrt a $T$ y luego combinarla con (7)), y de alguna manera piensan que (13) se puede obtener de (11) sin recordando (7). Tal vez integrando inteligentemente (nótese por ejemplo que $B_tB_T - BB_{tT}$ es el numerador de la derivada respecto a $t$ de la fracción $B/B_T$ ) y utilizando la condición de contorno (no he podido averiguarlo).
Por supuesto, lo que podemos hacer es resolver el ecuación lineal de primer orden en $t$ (7)
$$ B_t = a(t)B-1. $$
Con las funciones primitivas habituales:
$$ \alpha'(t) = a(t), \; \; \beta'(t) = -{\rm e}^{-\alpha(t)}, $$
la solución general de la ecuación (7) es
$$ B(t,T) = c(T){\rm e}^{\alpha(t)} + {\rm e}^{\alpha(t)}\beta(t), $$
con $c(T)$ función arbitraria de $T$ .
Como $B(T,T)=0$ debemos tener:
$$c (T)= -\beta(T).$$
Así que:
$$ B(t,T) = -{\rm e}^{\alpha(t)} \left(\beta(T) - \beta(t)\right).$$
Entonces podemos comprobar fácilmente que esta solución respeta (13):
$$ B(0,T) = -{\rm e}^{\alpha(0)} \left(\beta(T) - \beta(0)\right) $$
$$ B(0,t) = -{\rm e}^{\alpha(0)} \left(\beta(t) - \beta(0)\right) $$
$$\partial B(0,t)/\partial t = -{\rm e}^{\alpha(0)}\beta'(t) = {\rm e}^{\alpha(0)} {\rm e}^{-\alpha(t)}$$
Editar : Obsérvese que (11) puede escribirse como:
$$ (B_T)_t =\frac{1-B_t}{B}B_T $$ lo que equivale a $$ (\ln B_T)_t = \frac{1-B_t}{B}. $$
En este punto tenemos que recordar de (7) que el lado derecho es una función de $t$ sólo, $a(t)$ De lo contrario, se hace engorroso avanzar desde aquí. La solución es $$ B_T = {\rm e}^{\alpha (t) + \gamma (T)} $$ para $ \gamma (T)$ una función arbitraria de $T$ . Integrar a los $T$ obtenemos:
$$ B(t,T) = {\rm e}^{\alpha (t)} (\Gamma (T) + \eta (t)) $$ para $ \eta (t)$ una función arbitraria de $t$ y $\Gamma^\prime = {\rm e}^{\gamma}$ .
Condición límite $B(T,T)=0$ y luego las fuerzas:
$$\Gamma(T) = -\eta(T). $$
Así que,
$$B(t,T) = -{\rm e}^{\alpha(t)} \left(\eta(T) - \eta(t)\right).$$
Una vez más, señalando que
$$ B_t = -{\rm e}^{\alpha(t)}a(t)\eta(T) + {\rm e}^{\alpha(t)}a(t) \eta(t) + {\rm e}^{\alpha(t)} \eta^\prime (t),$$
(7) implica entonces:
$$\eta(t) = \beta(t). $$
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