Solución débil de una SDE

Question

$\text { Consider the } \operatorname{SDE} d X_{t}=\operatorname{sign}\left(X_{t}\right) d t+d B_{t} \text { on } 0 \leq t \leq T, \text { where } \operatorname{sign}(x)=1\\ \text { for } x>0 \text { and } \operatorname{sign}(x)=-1 \text { for } x \leq 0 \text { . Show that it has a weak solution. }$

No estoy seguro de si esta es la forma en que se supone que debo responder a la pregunta, pero así es como lo hice:

$d x_{t}-\operatorname{sign}\left(x_{t}\right) d t=d B_{t}$

$\text { let } Y_{t}=\int_{0}^{t}-\operatorname{sign}\left(X_{s}\right) d s+\int_{0}^{t} d X_{s}$

Podemos ver aquí que $\int_{0}^{t}\left|\operatorname{sign}\left(x_{s}\right)\right| d s<\infty$ como signo $(X_s)$ está acotado entre -1 y 1.

También podemos ver que $\int_{0}^{t}\left(d x_{s}\right)^{2}=T<\infty$

Por lo tanto, $Y_t$ está bien definido y es una martingala como $[y, y]_{t}=\int_{0}^{t} \operatorname{sign}^{2}\left(X_{s}\right) d s=T \text { and }$ $\int_{0}^{t} d X_{S}=\int_{0}^{t} d t=T$

Por lo tanto, $[Y, Y]_{t}$ es un valor constante que es una martingala. Y $Y_t$ es un movimiento browniano que satisface la SDE $dX_t$

Answer 1

Basado en la obra de Karatzas y Shreve libro En la sección 5.3.B, Soluciones débiles por medio de Girsanov, Proposición 3.6., "el principal método para crear soluciones débiles es la transformación de la deriva mediante el teorema de Girsanov". Su prueba de la proposición ilustra el enfoque.

La única condición que debe cumplirse es que la deriva tenga crecimiento limitado : si

$$ |b(t,x)| \leq K(1+|x|) $$

para todos $t$ y $x$ para alguna constante positiva $K$ , entonces SDE

$$ dX_t = b(t,X_t) dt + dB_t $$

tiene una solución débil.

Función $\operatorname{sign}$ cumple la condición:

$$ |\operatorname{sign}(x)| < 1 + |x| $$

para todos $x$ .

Notas:

1. Contrasta con el "habitual condiciones para soluciones sólidas : tanto los coeficientes de deriva como los de difusión deben satisfacer condiciones globales de crecimiento lineal y de Lipschitz. Nótese que $\operatorname{sign}$ falla Lipschitz mal.

2. La otra cosa que vale la pena mencionar es que, para las investigaciones prácticas, uno puede aproximar $\operatorname{sign}$ por una secuencia de suave que converge puntualmente a ella (véase este artículo para dicha investigación):

$$ f_n(x) = -1_{x<-1/n} + (-n^3x^3/2 + 3nx/2)1_{-1/n\leq x \leq 1/n} + 1_{x>1/n} $$ y estudiar SDE $$ dX_t = f_n(X_t) dt + dB_t. $$