¿Cómo transformar el proceso en una medida neutral de riesgo para la valoración de opciones de Montecarlo?

Question

Estoy tratando de fijar el precio de una opción utilizando el método de Monte Carlo, y tengo las simulaciones del proceso de precios como entradas. El subyacente es un contrato a plazo, por lo que en todo momento la media de las simulaciones es el precio a plazo actual (también el punto de partida de las simulaciones). No hay deriva.

Sin embargo, estas simulaciones están calibradas con datos de mercado y presentan, por ejemplo, reversión media y otras mejores estimaciones del comportamiento del mercado. Por tanto, aunque tengan una deriva cero, creo que no son neutrales al riesgo y no pueden utilizarse en la valoración de Monte Carlo.

¿Hay alguna forma de convertir simulaciones de mercado arbitrarias (en medida de mercado) en medida de riesgo neutral? Sin conocer el SDE que los generó, ya que puede haber sido un SDE con algún postproceso arbitrario posterior.

La razón por la que creo que no puedo utilizarlas directamente, es que algunas simulaciones (en particular las simulaciones de los diferenciales de las materias primas) presentan propiedades de reversión de la media, al igual que en el mercado real. Esto significa que la varianza de los precios finales para tiempos mayores no aumenta linealmente, sino que se ralentiza o incluso se aproxima a una constante. Esto reduce el precio de la opción en comparación con el modelo GBM estándar. Pero para un proceso con propiedades similares, es decir, el de Ohrenstein-Uhlenbeck, el precio de la opción aumenta con la velocidad de reversión de la media (según http://web.mit.edu/wangj/www/pap/LoWang95.pdf ), que es justo el efecto contrario.

Parece que me estoy perdiendo algo obvio, porque en todas partes se promueve el método de Montecarlo como el mejor método para valorar las opciones sobre procesos de precios muy complejos, pero parece que estos no pueden ser completamente arbitrarios (tienen que ser neutrales al riesgo) y no he encontrado ninguna fuente sobre cómo verificar y/o asegurar esto.

Answer 1

El uso de la medida de neutralidad del riesgo se basa en la capacidad de arbitrar el riesgo instantáneo de los créditos contingentes. Aunque para los contratos a plazo la cantidad de cobertura es 1,0, en el caso general de los créditos contingentes debemos suponer que varía instantáneamente con el estado del mercado.

El Teorema de Girsanov nos dice cuál es la diferencia, de forma instantánea, entre la "medida de mercado" del mundo real (de la que sus trayectorias históricas son realizaciones) y la medida neutral de riesgo adecuada para la fijación de precios de los créditos contingentes. La diferencia viene en forma de ajuste de deriva.

Dado que el ajuste depende del estado del mercado, no es apropiado multiplicar simplemente todos los valores de la trayectoria por la misma constante para conseguir una distribución terminal concreta. En su lugar, es necesario tener una forma de ajuste instantáneo.

Aquí, creo que tienes dos opciones:

• Trabajar con algún modelo, por ejemplo modelo de volatilidad local con los vols locales calibrados para que coincidan con los vols locales observados en sus caminos
• Agrupa tus rutas para representar el universo de resultados posibles como una distribución discreta. A continuación, puede discretizar el ajuste de la deriva del teorema de Girsanov por la varianza local, y modificar su deriva en consecuencia.

Answer 2

No tienes que creer nada. Las simulaciones son neutrales al riesgo si la expectativa en cualquier fecha dividida por el precio al contado es el rendimiento de un bono de cupón cero sin riesgo. Eso es todo (la única excepción son las acciones que pagan dividendos, a las que hay que restar los dividendos en el periodo).

Otra cuestión es si se quieren modelar otras características como la reversión a la media, la volatilidad estocástica, la estacionalidad, etc. pero eso no tiene nada que ver con la medida de fijación de precios, sólo con la SDE del modelo. Mientras la rentabilidad esperada esté libre de riesgo en cada momento $T>0$ estás en el mundo del riesgo neutro.