Aplicación del teorema del valor intermedio para el equilibrio general

Question

He aquí un problema reformulado de Ross Starr Teoría del equilibrio general .

Consideremos una economía de dos productos con una función de exceso de demanda $Z(p)=(Z_1(p),Z_2(p))$ . El espacio de precios es $p \in P = \left \{ p | p \in \mathbb{R}^{2}, p \geq 0, p_1 + p_2 =1 \right \}$ . Sea $Z(p)$ ser continua, acotada y cumplir la Ley de Walras como una igualdad, es decir $p_1Z_1(p)+p_2Z_2(p)=0$ . Supongamos que $Z_1(0,1)>0$ , $Z_1(1,0)<0$ , $Z_2(0,1)<0$ , $Z_2(1,0)>0$ . Utilice el teorema del valor intermedio y Ley de Walras para demostrar que la economía tiene un equilibrio competitivo. Es decir, demostrar que existe un vector de precios $p* \in P$ para que $Z(p*)=(0,0)$ .

Y tengo una pista: caracterizar $Z(p)$ como $Z(\alpha , 1- \alpha)$ para $0 \leq \alpha \leq 1$ . Utilice el teorema del valor intermedio para encontrar $0 \leq \alpha \leq 1$ para que $Z_1(\alpha , 1- \alpha)=0$ . A continuación, aplique la Ley de Walras.

Tengo problemas para encontrar $\alpha$ ¿Cómo puedo encontrarlo?

Answer 1

Una pista más fuerte: escriba $p_2=1-p_1$ para que $Z(p)=Z(p_1,1-p_1)$ . Utilice las condiciones $Z_1(0,1)>0,Z_1(1,0)<0$ etc. y el teorema del valor intermedio para argumentar que existe un $p_1^*\in(0,1)$ tal que $Z_1(p_1^*,1-p_1^*)=0$ .

Answer 2

No se me ocurrió una buena pista. Si tienes problemas para utilizar la información dada, (ya que la aplicación de Walras + IVT es bastante sencilla), entonces no hay muchos consejos que puedan ayudar. He optado por poner cada paso explícitamente. Avísame si no entiendes alguna parte, y trataré de editarla para hacerla más clara.

En el futuro, es mejor que intentes explicar con qué parte tienes problemas, para que la gente pueda ayudarte mejor (y también para evitar que te cierren las preguntas).

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Lo tenemos:

$$Z(\vec p) = \bigg(Z_1(p_1, p_2), Z_2(p_1, p_2) \bigg)$$

y puede sustituir $p_1 = 1 - p_2$ como ha señalado Herr K.

$$Z(\vec p) = \bigg(Z_1(p_1, 1 - p_1), Z_2(p_1, 1-p_1) \bigg)$$

$Z_1$ puede expresarse en función de una variable, $Z_1(p_1)$ para poder aplicar el Teorema del Valor Intermedio.

En el intervalo $I = (0, 1) \in \mathbb{R}$ tenemos $Z_1: I \rightarrow \mathbb{R}$ una función continua (y acotada) donde dado

$$\infty > Z_1(p_1 = 0) > 0 > Z_1(p_1 = 1) > -\infty$$

existe $p_1^* \in (0, 1)$ tal que $Z_1(p_1^*) = 0$

Y por la Ley de Walras,

$$p_1^* Z_1(p_1^*, 1-p_1^*) + (1 - p_1^*) Z_2(p_1^*, 1-p_1^*) = 0$$

$$p_1^* \cdot 0 + (1 - p_1^*) Z_2(p_1^*, 1-p_1^*) = 0$$

y porque $(1-p_1^*) > 0$

$$Z_2(p_1^*, 1-p_1^*) = 0$$

que significa $Z(p_1^*) := Z(p^*_1, p^*_2) = (0, 0)$