Regresión logística: Ecuación del efecto marginal en la media

Question

Estoy estimando la siguiente regresión logística (familia binomial) por máxima verosimilitud:

$$ \ln\left(\frac{Y}{1-Y}\right) = \beta_{0} + \beta_{1}D + \beta_{2}X + \epsilon$$

donde D es un maniquí. Me interesa el efecto marginal en la media de $D$ es decir $\beta_{1}$ es de interés. ¿Cómo es el efecto marginal en la media en forma de ecuación? Sería:

$$ \frac{1}{\bar{Y}} \left(\frac{e^{\beta_{0}+\beta_{1}+\beta_{2}\bar{X}}}{1+e^{\beta_{0}+\beta_{1}+\beta_{2}\bar{X}}} - \frac{e^{\beta_{0}+\beta_{2}\bar{X}}}{1+e^{\beta_{0}+\beta_{2}\bar{X}}}\right) $$

o

$$\left(\frac{e^{\beta_{0}+\beta_{1}+\beta_{2}\bar{X}}}{1+e^{\beta_{0}+\beta_{1}+\beta_{2}\bar{X}}} - \frac{e^{\beta_{0}+\beta_{2}\bar{X}}}{1+e^{\beta_{0}+\beta_{2}\bar{X}}}\right) $$

Mi intuición es que Y corresponde a la probabilidad de que se produzca el suceso, y los términos e/(1+e) también corresponden a la probabilidad de que se produzca el suceso, pero en valores específicos de Y. ¿Cuál sería la razón para dividir por $\bar{Y}$ ¿ser? Gracias.

Answer 1

A

La segunda expresión de OP corresponde a $$\Delta p = P(Y=1|D=1,X=\bar{X}) - P(Y=1|D=0,X=\bar{X}),$$ que es $$ \Delta p = \Lambda(\beta_0 + \beta_1 + \beta_2 \bar{X}) - \Lambda(\beta_0 + \beta_2 \bar{X}), $$ donde $\Lambda(z) = e^z/(1+e^z)$ .

Justificación de la división por p

La primera expresión de OP corresponde a $(\Delta p)/p$ , donde $p$ es la proporción de 1's en la muestra $P(Y=1)$ . Esto expresa la MEA $\Delta p$ en relación con $p$ . Esto es informativo, ya que nos permite tener mejores ideas sobre el tamaño $\Delta p$ es. (Por ejemplo, si sólo tenemos $\Delta p=0.01$ No sabemos qué tamaño tiene. Pero si $p=0.02$ también está dado, entonces sabemos que $\Delta p=0.01$ es un efecto bastante grande ya que es el 50% de $p$ .) Se podría llamar "MEA como relación con la barra Y". De todos modos, MEA suele referirse a $\Delta p$ , pero si te refieres a $(\Delta p)/p$ por ella, debería estar bien siempre que lo expliques.

B

La MEA asociada a $D$ también puede significar $\dot{p}=\partial P(Y=1|D=\bar{D},X=\bar{X})/\partial \bar{D}$ . Como $$P(Y=1|D=\bar{D},X=\bar{X}) = \Lambda(\beta_0+\beta_1 \bar{D} + \beta_2 \bar{X})$$ para su modelo logit, tenemos $$\dot{p} = \frac{\partial \Lambda(\beta_0+\beta_1 \bar{D} + \beta_2 \bar{X})}{\partial \bar{D}} = \beta_1 \lambda(\beta_0 + \beta_1 \bar{D} + \beta_2 \bar{X}),$$ donde $\lambda(z) = \Lambda'(z) = e^z / (1+e^z)^2$ . Tenga en cuenta que $D$ es binario pero $\bar{D}$ es continua por lo que la diferenciación con respecto a $\bar{D}$ tiene sentido. $\Delta p$ y $\dot{p}$ tienen diferentes interpretaciones. Personalmente creo que $\Delta p$ en la parte A es más fácil de entender ya que la noción de $P(Y=1|D=\bar{D}, X=\bar{X})$ es un poco incómodo.