¿Pueden utilizarse los teoremas de Weierstrass y de Kuhn-Tucker para obtener y caracterizar una solución? ¿Por qué sí o por qué no?

Question

Pregunta: Un agente que consume tres productos básicos tiene una función de utilidad dada por:

$u(x_1,x_2,x_3)=x^{1/3}_1+\min\{ x_2,x_3\}$

Dado un ingreso $I$ y los precios de $p_1,p_2,p_3$ . Describa el problema de maximización de la utilidad del consumidor. ¿Pueden utilizarse los teoremas de Weierstrass y de Kuhn-Tucker para obtener y caracterizar una solución? ¿Por qué o por qué no?

intento: Supongo que $x_i$ representa la cantidad y pertenece a $\mathbb R_{+}$ . Puede formar las restricciones de la siguiente manera: $$ x_i \geq0 \quad\forall i \in [3] \\ \sum_{i=1}^3p_ix_i \leq I $$ Se puede simplificar el objetivo observando que para que la utilidad sea la máxima Por lo tanto, el problema final se convierte en

$$\ \max_{x_1, x_2, x_3}x_1^{1/3} +x_2 \quad s.t. \\ x_i \geq0 \quad\forall i \in [3] \\ \sum_{i=1}^3p_ix_i \leq I \\ x_2=x_3 $$ Eliminemos $x_3$ como sabemos que $x_2=x_3$ . El problema se simplifica a $$\ \min_{x_1,\ x_2}\ -x_1^{1/3} -x_2 \quad s.t. \\ x_1 \geq0,\ x_2 \geq 0 \\ p_1x_1 + (p_2 + p_3)x_2 \leq I $$ $$\ \mathcal L(x_1, x_2)=-x_1^{1/3} -x_2 + \lambda_1(-x_1) + \lambda_2(-x_2) + \lambda(p_1x_1 + (p_2 + p_3)x_2 - I) $$

Comentario: No estoy seguro de cómo llevar esto adelante. Sigo liando las derivadas ( supongo) y cuando intento resolver para lambda consigo no aislar la variable lambda y mucho menos obtener las variables x1,x2,x3. Mi profesor me animó a intentar este complejo problema como "ejercicio para el lector". ¿Cómo puedo llevar esto adelante o alguien puede mostrarme una solución paso a paso a partir de este punto?

Answer 1

Supongo que $x_i$ representa la cantidad y pertenece a $\mathbb R_{+}$ . Puede formar las restricciones de la siguiente manera: $$ x_i \geq0 \quad\forall i \in [3] \\ \sum_{i=1}^3p_ix_i \leq I $$ Se puede simplificar el objetivo señalando que para que la utilidad sea la máxima, $x_2 =x_3$ . Intenta razonar por qué esto es cierto. Por lo tanto, el problema final se convierte en,

$$\ \max_{x_1, x_2, x_3}x_1^{1/3} +x_2 \quad s.t. \\ x_i \geq0 \quad\forall i \in [3] \\ \sum_{i=1}^3p_ix_i \leq I \\ x_2=x_3 $$ ¿Puedes ahora establecer la función del multiplicador de lagrange? En cuanto a las condiciones KKT, creo que deberían ayudar porque estás tratando de maximizar una función cóncava(en $\mathbb R_+$ ) sujeta a restricciones convexas y la restricción de desigualdad estricta es lineal.

Editar 1: Eliminemos $x_3$ como sabemos que $x_2=x_3$ . El problema se simplifica a $$\ \min_{x_1,\ x_2}\ -x_1^{1/3} -x_2 \quad s.t. \\ x_1 \geq0,\ x_2 \geq 0 \\ p_1x_1 + (p_2 + p_3)x_2 \leq I $$ $$\ \mathcal L(x_1, x_2)=-x_1^{1/3} -x_2 + \lambda_1(-x_1) + \lambda_2(-x_2) + \lambda(p_1x_1 + (p_2 + p_3)x_2 - I) $$ Editar 2: Veo que resolver el Lagrangiano puede ser difícil. Simplifiquemos, sabemos que todas las restricciones no pueden estar activas al mismo tiempo. Dará una utilidad de cero.

Caso 1: $x_1=0, x_2>0$ Puedes comprobarlo algebraicamente, $x_2=\frac{I}{p_2+p_3}$ . Por lo tanto, la utilidad $(U)=\frac{I}{p_2+p_3}$

Caso 2: $x_1>0, x_2=0$ Puedes comprobarlo algebraicamente, $x_1=\frac{I}{p_1}$ . Por lo tanto, la utilidad $(U)=\left(\frac{I}{p_1}\right)^{1/3}$

Caso 3 $x_1>0, x_2>0$ Ahora puedes usar la lagrangiana, es mucho más simple que el problema lagrangiano original porque $\lambda_1=\lambda_2=0$ $$\ \mathcal L(x_1, x_2)=-x_1^{1/3} -x_2 + \lambda(p_1x_1 + (p_2 + p_3)x_2 - I)\\ \frac{\partial\mathcal L}{\partial x_1} = 0 \implies x_1 = \left(\frac{1}{3\lambda p_1}\right)^{3/2}\\ \frac{\partial\mathcal L}{\partial x_2} = 0 \implies \lambda = \frac{1}{p_2+p_3}\\ \text{Use the constraint, }p_1x_1 + (p_2 + p_3)x_2 = I \text{ to find } x_2 $$ Puedes terminar simplemente diciendo que la solución es $\max$ de los tres casos. En cuanto a las condiciones KKT, una de las tres soluciones satisfará las condiciones KKT en función de $p_1, p_2, p_3 \text{ and } I$ . Obsérvese que esto no difiere del problema original y, por lo tanto, la condición KKT debe ser satisfecha por uno de los tres dependiendo de $p_1, p_2, p_3 \text{ and } I$ . Podríamos haber obtenido la misma solución utilizando el Lagrangiano original. Incluso ahí habríamos acabado con un $\max$ por $\lambda_1, \lambda_2$ e invocando KKT.