¿Es cierto que todo activo negociable debe tener una dinámica log-normal bajo la medida de riesgo neutro donde el término de deriva es el tipo de interés corto $r$ ? Es decir, ¿es cierto que si $X$ es un activo negociable, entonces $$\frac{\mathrm{d}X(t)}{X(t)} = r(t)\mathrm{d}t + \sigma(t, X(t))\mathrm{d}W(t),$$ donde $W$ es un movimiento browniano bajo la medida de riesgo neutro para algún $\sigma$ (que puede ser determinista o no)?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Winter Traveler
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Nuestro mercado tiene un activo negociable $S$ y una cuenta del mercado monetario sin riesgo $B$ es decir, el numéraire de la medida de riesgo neutro. Asumimos las siguientes condiciones estándar, que son ampliamente aplicables a los modelos más comunes:
- Trabajamos en un Difusión de Itô y descuidar la modelización de los saltos: $$\begin{align} & dS_t=\mu(t,S_t)dt+\sigma(t,S_t)dW^S_t \\ & dB_t=r(t,B_t)dt + \varsigma(t,B_t)dW^B_t \end{align}$$
- La cuenta del mercado monetario $B$ no tiene ninguna contribución estocástica (porque no tiene riesgo): $$\varsigma \equiv0$$
- Las martingalas locales son martingalas .
El requisito exacto es que el precio descontado del activo es una martingala bajo la medida de riesgo neutral y queremos determinar la expresión del término de deriva $\mu(\cdot)$ $-$ Nótese que todas las dinámicas se expresan bajo la medida de riesgo neutro. Según nuestros supuestos, esto equivale a decir que existe una función $\eta(\cdot)$ y un movimiento browniano $W$ tal que: $$d\left(\frac{S_t}{B_t}\right)=\eta(t,S_t,B_t)dW_t$$ Aplicando el Lemma de Itô: $$\begin{align} d\left(\frac{S_t}{B_t}\right) &=\frac{1}{B_t}dS_t-\frac{S_t}{B_t^2}dB_t+\frac{S_t}{B_t^3}d[B,B]_t-\frac{1}{B_t^2}d[S,B]_t \\ &=\frac{1}{B_t}dS_t-\frac{S_t}{B_t^2}dB_t \end{align}$$ Para cancelar las contribuciones de la deriva en la ecuación anterior, necesitamos tener: $$\begin{align} \mu(t,S_t)=r(t,B_t)\frac{S_t}{B_t} \end{align}$$ Es decir, la deriva del activo tiene que ser igual a la deriva de la cuenta del mercado monetario, ajustada por la relación de precios entre el activo y el MMA:
- Por ejemplo, si $B$ es exponencial, es decir $r(t,B_t)=rB_t$ Entonces: $$\mu(t,S_t)=rS_t$$
- Sin embargo, si $B$ es lineal, es decir $r(t,B_t)=r$ Entonces: $$\mu(t,S_t)=r\frac{S_t}{B_t}$$ En este caso, observe que $B_t=B_0+rt$ Así que si $B_0=0$ Tenemos la siguiente deriva, bastante peculiar: $$\mu(t,S_t)=\frac{S_t}{t}$$
En la práctica, siempre se supone que la cuenta del mercado monetario tiene una forma exponencial porque es la forma más sensata de representar matemáticamente dicho valor. Dado que la dinámica de la cuenta del mercado monetario restringirá la deriva del activo (si queremos garantizar el requisito de martingala), la deriva del activo será $rS_t$ en la mayoría de los modelos. Sin embargo, el modelo puede no ser necesariamente logarítmico-normal. Por ejemplo, el modelo de Bachelier suele especificarse como sigue: $$dS_t=rS_tdt+\sigma dW_t^S$$ que corresponde a una distribución normal para $S$ .
