Bergomi: Arbitraje de desviación

Question

En su artículo "Smile Dynamics IV" ( https://www.fields.utoronto.ca/programs/scientific/09-10/finance/derivatives/bergomi.pdf ) así como en su libro "Stochastic Volatility Modeling" (capítulo 9.10) Lorenzo Bergomi propone una "Skew Arbitrage Strategy". Según entiendo su lógica, dice que para los vencimientos cortos el ratio de rigidez del skew debería ser cercano a 2 (es decir, el movimiento de volatilidad ATM implícito para un movimiento spot dS_rel % es 2 * Skew * dS_rel ). Sin embargo, empíricamente el movimiento absoluto al contado realizado tiende a ser menor que eso, por lo que uno podría comprar una inversión de riesgo gamma neutral de 1 mes 95/105, cobertura delta y mantenerla durante un día. Dado que somos gamma neutrales, tal y como se desprende de una expansión de Taylor, el PnL de esta posición debería estar determinado por

PnL sesgado + PnL Vega + "Mark to Market PnL"

El "skew PnL" es proporcional a la covarianza de la tensión al contado realizada menos la varianza de la tensión al contado implícita y, por término medio, será positivo, ya que la rigidez realizada es menor que la implícita.

El PnL de Vega es pequeño comparado con el resto y básicamente sólo añade algo de ruido.

"Mark to Market PnL" viene de recalibrar el modelo de vol. Más concretamente, está utilizando un modelo de vol simple, que es cuadrático en el logaritmo de dinero

$$\widehat{\sigma}(x)=\sigma_{0}\left(1+\alpha\left(\sigma_{0}\right) x+\frac{\beta\left(\sigma_{0}\right)}{2} x^{2}\right)$$

Así que cada día tendríamos que recalibrar la inclinación y la curvatura. En su libro y en su artículo, Bergomi dice que este PnL de Mark to Market debería ser insignificante. Sin embargo, si hoy compro una opción de 30 días, mañana será una opción de 29 días. El sesgo 95/105 decae (es decir, se vuelve más negativo) a medida que el tiempo hasta el vencimiento disminuye, por lo que debería haber una deriva descendente en el PnL. He intentado replicar la estrategia y, efectivamente, puedo observar dicha deriva descendente. Es menor que el PnL sesgado, pero tiene un efecto no despreciable en el PnL. En mi réplica estoy utilizando el S&P y mi período de tiempo es de 2010 a 2019, mientras que Bergomi está utilizando Eurostoxx y 2002-2010, por lo que es posible que esté recogiendo una diferencia estructural o un cambio de régimen.

Mis preguntas son:

1. ¿Hay algún error en mi pensamiento? ¿Es correcto que debería haber una deriva PnL inducida por el decaimiento del skew y que ésta no es necesariamente pequeña? ¿Ha intentado alguien simular esto para el S&P y ha hecho una observación similar? Por supuesto, es posible que me haya equivocado.
2. No me parece intuitivo que esta estrategia sólo funcione para las opciones de corto plazo. Básicamente, todo lo que se hace para motivarla es tomar un modelo de vol cuadrático en el logaritmo del dinero y enchufarlo en una expansión de Taylor para el PnL total de la opción. ¿Dónde se rompe esto para, digamos, una opción de 90 días, y hay una manera de conseguir algo similar aquí?

Edición: Algunas observaciones adicionales

Añado un gráfico con una descomposición para el PnL de la inversión de riesgo gamma neutral de 35 días para el S&P. Lamentablemente sólo tengo datos hasta el 13 de marzo de 2020, por lo que me faltan los movimientos interesantes después de esta fecha. "PnL Total" es el PnL es el PnL de la posición. "MTM" es el PnL de remarcar el parámetro skew y el parámetro cuadrático ("vol de vol"). "Vega" es el PnL de los movimientos de la ATM y "Cross Gamma Theta" el PnL del dSdATM menos el theta. Como se puede ver en el gráfico, MTM trae una decadencia constante, como sugerí en mi pregunta. Yo diría que este decaimiento es bastante significativo, ya que básicamente se come el PnL de Cross Gamma Theta desde 2018.

El siguiente gráfico de dispersión muestra el PnL de Gamma Theta cruzado en el eje x frente al PnL cubierto de Vega de la inversión de riesgo en el eje y. La beta de la regresión (con intercepción 0) es 1,05 y R^2 es 76%.

Ahora estoy mostrando Cross Gamma Theta PnL en el eje x vs total PnL en el eje y. La beta de regresión es de 2,38 y R^2 de 57%.

Answer 1

Gran pregunta. Permítanme que intente aportar algunas ideas y reflexiones sobre los puntos y las cuestiones planteadas. Puede que no sea una respuesta completa, pero espero que ayude a conectar el contenido del documento/libro con alguna intuición comercial:

1. Desde un punto de vista teórico, no veo ningún error en su pensamiento en lo que respecta a la decadencia de la inclinación, pero me surgen dos preguntas: El enfoque de backtesting del EuroStoxx en el libro (9.10.) se basa en la dinámica de vol implícito lognormal para la que Bergomi muestra que en el límite T->0 el skew es constante e independiente del vol ATM (ese resultado se deriva en realidad en 8.5.1). Por lo tanto, uno sospecharía que el componente de decaimiento del skew no debería ser realmente decisivo en su ejemplo del EuroStoxx, ¿verdad? Sin embargo, veo su punto válido. Usted dice que -basándose en la estructura de plazos del skew- esto debería tener un efecto de "caída" en el sentido de que el skew para el 29 debería ser más pronunciado que para el 30d. Esto me lleva a mi segunda pregunta: ¿Cómo separaste exactamente la descomposición del skew en tus cálculos? Sería bueno tener más detalles de su enfoque. Por ejemplo, en la figura 9.8. del libro, se puede ver el impacto de las diferentes P&L en las P&L totales de esta estrategia. ¿Qué tipo de impacto de la descomposición de las pérdidas y ganancias obtuvo en su enfoque de las pérdidas y ganancias totales?

2. Tienes toda la razón. La estrategia no es propia de las restricciones hechas en el papel/libro. El libro aborda esta estrategia desde un aspecto muy teórico (vencimiento corto, modelo de vol cuadrático, etc.). Pero pensemos un poco más en lo práctico. La idea clave de esta estrategia se basa en la relación entre Theta y las segundas derivadas (Gamma, Vanna, Volga), que también se menciona en el libro. Se puede utilizar fácilmente un desglose de Theta en estos tres componentes sobre una base de madurez rebanada por rebanada y derivar los niveles de equilibrio implícitos para dSpot, dSpot*dVol y dVol. Teniendo en cuenta los niveles de equilibrio implícitos en el mercado (que serán diferentes para diferentes rebanadas), se puede evaluar la baratura/riqueza de estos niveles de equilibrio sobre la base de su propia evaluación o comportamiento histórico. Esto NO se limita a ninguna de las restricciones del modelo en el libro.

Por último, no puedo dejar el post sin unas palabras de advertencia. Este tipo de estrategias de backtesting son muy teóricas y difíciles (a menudo imposibles) de aplicar en la práctica del mercado. La siguiente lista ofrece algunos ejemplos (¡sin limitarse a ellos!):

• Consulta las notas a pie de página del libro: "Además, deshacer y reiniciar una nueva posición a diario no es práctico: en nuestro backtest, el factor de un diferencial oferta/demanda de 0,2 puntos de volatilidad en cada tramo de nuestra posición de spreads aniquila las pérdidas y ganancias de la estrategia". Pero si no se rueda, rápidamente se preocupa por el siguiente punto:

• La estrategia puede empezar siendo neutra en cuanto a la gamma, pero no hay que ignorar el impacto de la velocidad de la gamma (terceras derivadas). En los mercados turbulentos, en el camino a la baja se está atrapando gamma corto en su inversión de riesgo con cobertura delta y el sesgo tiende a ser más pronunciada. Un escenario de pérdidas y ganancias horrible. Puede funcionar bien si los mercados están subiendo (poniéndote largo en gamma y el skew tiende a aplanarse). Por lo tanto, la estrategia -aunque inicialmente gamma neutral con un impacto insignificante de Volga- puede convertirse rápidamente en una apuesta direccional apalancada. Como pista: aplique su estrategia de backtesting a los datos de marzo de 2020 durante el pico de la crisis de Covid-19.

• Hay más riesgos que pueden tener un impacto significativo pero que no se tienen en cuenta en los planteamientos teóricos. Por ejemplo, ¿qué pasa si cubres tu inversión de riesgo delta neutral con Futuros y la base entre el índice y el futuro explota a 60 puntos al haber una alta incertidumbre de dividendos en el índice?