¿Por qué la LMM de Hull parece tan diferente de la LMM de Brigo y Mercurio?

Question

Cuando miro el libro de Hull "Options Futures and Other Derivatives" el proceso de $F_k(t)$ en el mundo neutro en cuanto al riesgo se especifica como

$\frac{dF_k(t)}{F_k(t)} = \sum^k_{i=m(t)}\frac{\delta_iF_i(t)\zeta_i(t)\zeta_k(t)}{1+\delta_iF_i(t)}dt + \zeta_k(t)dz$

donde

• $F_k(t)$ es la tasa de avance entre los tiempos $t_k$ y $t_{k+1}$
• $\zeta_k$ es la volatilidad de $F_k(t)$ en el momento t (la volatilidad instantánea)
• $\delta_k$ es el periodo de composición entre $t_k$ y $t_{k+1}$
• $m(t)$ es el índice de la siguiente fecha de reinicio en el momento $t$

En el libro Interest Rate Models - Theory and Practice de Brigo y Mercurio, la dinámica de la medida spot del Lognormal Forward LIBOR Model se especifica como:

$dF_k(t) = \sigma_k(t)F_k(t)\sum^k_{j=\beta(t)}\frac{\tau_j\rho_{j,k}\sigma_j(t)F_j{t}}{1+\tau_jF_k(t)}dt + \sigma_k(t)F_k(t)dZ^d_k(t)$

que se convierte en

$\frac{dF_k(t)}{F_k(t)} = \sigma_k(t)\sum^k_{j=\beta(t)}\frac{\tau_j\rho_{j,k}\sigma_j(t)F_j{t}}{1+\tau_jF_k(t)}dt + \sigma_k(t)dZ^d_k(t)$

donde

• $\sigma_k(t)$ es la volatilidad instantánea de $F_k(t)$
• $\tau_k$ es el periodo de composición entre $t_k$ y $t_{k+1}$
• $\beta(t)$ es el índice del siguiente tipo a plazo que no ha expirado
• $\rho_{i,j}$ es la correlación instantánea entre dos tipos a plazo $F_i(t)$ y $F_j(t)$

La única diferencia que veo es que Brigo y Mercurio incluyen la correlación $\rho_{j,k}$ .

¿Cómo puedo conciliar esta diferencia? ¿Supone Hull que los tipos a plazo no están correlacionados?

Answer 1

Hull utilizó un único conductor browniano. Añadió, unas páginas más abajo, la ecuación (31.15) (en mi 7ª edición) con $p$ conductores brownianos independientes:

$$ \frac{dF_k(t)}{F_k(t)} = \sum_{i=m(t)}^k \frac{\delta_iF_i(t) \sum_{q=1}^p\zeta_{i,q}(t)\zeta_{k,q}(t)}{1+\delta_iF_i(t)} dt +\sum_{q=1}^p \zeta_{k,q}(t) dz_q $$

con $\zeta_{k,q}(t)$ el componente de la volatilidad de $F_k(t)$ atribuible a la $q$ El conductor browniano.