Estoy tratando de resolver un problema de asignación para una función de producción CES anidada con tres factores.
La función de producción que planteamos es:
$$ F(K, \mathbf L, \mathbf C) = [\alpha K^\rho + \sum_{i\not\in \text{AT}} \beta_i L_i ^\rho + \sum_{i\in \text{AT}} \beta_i (L_i + \eta_i C_i)^\rho]^{\frac{1}{\rho}} $$
donde $K$ es el capital, $\mathbf L$ es el trabajo, $\mathbf C$ es computar, $\rho$ es el coeficiente de sustitución trabajo-capital, $\alpha + \sum_{0 \le i \le n} \beta_i = 1$ son los parámetros de participación específicos de la tarea, $\text{AT}$ es el conjunto de tareas automatizables y $\eta_i < 1$ son los factores de sustitución específicos de la tarea entre el trabajo y el cálculo.
Suponiendo que el capital y el trabajo sean complementos brutos (es decir $\rho < 0$ ) entonces el problema es equivalente a minimizar $$ F'(\mathbf L, \mathbf C) = \sum_{i} \beta_i (L_i + \eta_i C_i )^\rho $$ con sujeción a las limitaciones presupuestarias
$$ \sum_i L_i = L $$ $$\sum_{i} C_i = C$$ $$C_i = 0, \text{ if } i\not\in \text{AT}$$
El punto de minimización se produce cuando los rendimientos marginales del trabajo y del cálculo en cada tarea son iguales.
Esto da lugar a las condiciones de optimalidad $\frac{\partial F'}{\partial L_i} = \frac{\partial F'}{\partial L_j}$ para todos $i,j$ y $\frac{\partial F'}{\partial C_i} = \frac{\partial F'}{\partial C_j}$ para $i,j \in \text{AT}$ .
$$ \frac{\partial F'}{\partial L_i} = \beta_i \rho (L_i + \eta_i C_i)^{\rho - 1} = \beta_0 \rho (L_0 + \eta_0 C_0)^{\rho - 1} = \frac{\partial F'}{\partial L_0} $$
$$ \frac{\partial F'}{\partial C_i} = \beta_i \rho (L_i + \eta_i C_i)^{\rho -1} \eta_i = \beta_0 \rho (L_0 + \eta_0 C_0)^{\rho -1} \eta_0 = \frac{\partial F'}{\partial C_0} $$
donde asumimos que la tarea 0 es automatizable, es decir $0\in \text{AT}$ .
Después de eliminar $\rho$ y resolviendo el exponente tenemos eso:
$$ \frac{1}{\beta_0^{\sigma}}L_0 - \frac{1}{\beta_i^{\sigma}}L_i + \frac{\eta_0}{\beta_0^{\sigma}}C_0 - \frac{\eta_i}{\beta_i^{\sigma}}C_i = 0 $$
$$ \frac{1}{\beta_0^{\sigma}\eta_0^{\sigma}}L_0 - \frac{1}{\beta_i^{\sigma}\eta_i^{\sigma}}L_i + \frac{\eta_0^{1 - \sigma}}{\beta_0^{\sigma}}C_0 - \frac{\eta_i^{1 - \sigma}}{\beta_i^{\sigma}}C_i = 0 $$ donde $\sigma = \frac{1}{1 - \rho}$ es el coeficiente de elasticidad de la función de producción CES.
Junto con las condiciones presupuestarias, estas ecuaciones forman un sistema de ecuaciones lineales de determinación única. Dado que $F'$ es convexo, la solución es necesariamente el mínimo.
Hasta aquí todo bien, pero quería comprobar que la solución funciona en un ejemplo.
Elegí $C = 1, L=1, \beta_1 = 1/3, \beta_2=2/3, \rho = -0.5, \eta_0 = 1, \text{AT} = \{0\}$ .
La solución que obtengo utilizando un solucionador de álgebra lineal es $L_0 = -0.22702358, L_1 = 1.22702358, C_0 = 1, C_1 = 0$ .
Así que claramente he olvidado tener en cuenta la restricción de que cada factor individual debe ser no negativo. La pregunta es, ¿cómo puedo incorporar eso en la solución?
