Derivación de la asignación de factores de la función de producción

Question

Estoy tratando de resolver un problema de asignación para una función de producción CES anidada con tres factores.

La función de producción que planteamos es:

$$F(K, \mathbf L, \mathbf C) = [\alpha K^\rho + \sum_{i\not\in \text{AT}} \beta_i L_i ^\rho + \sum_{i\in \text{AT}} \beta_i (L_i + \eta_i C_i)^\rho]^{\frac{1}{\rho}}$$

donde $K$ es el capital, $\mathbf L$ es el trabajo, $\mathbf C$ es computar, $\rho$ es el coeficiente de sustitución trabajo-capital, $\alpha + \sum_{0 \le i \le n} \beta_i = 1$ son los parámetros de participación específicos de la tarea, $\text{AT}$ es el conjunto de tareas automatizables y $\eta_i < 1$ son los factores de sustitución específicos de la tarea entre el trabajo y el cálculo.

Suponiendo que el capital y el trabajo sean complementos brutos (es decir $\rho < 0$ ) entonces el problema es equivalente a minimizar $$F'(\mathbf L, \mathbf C) = \sum_{i} \beta_i (L_i + \eta_i C_i )^\rho$$ con sujeción a las limitaciones presupuestarias

$$\sum_i L_i = L$$ $$\sum_{i} C_i = C$$ $$C_i = 0, \text{ if } i\not\in \text{AT}$$

El punto de minimización se produce cuando los rendimientos marginales del trabajo y del cálculo en cada tarea son iguales.

Esto da lugar a las condiciones de optimalidad $\frac{\partial F'}{\partial L_i} = \frac{\partial F'}{\partial L_j}$ para todos $i,j$ y $\frac{\partial F'}{\partial C_i} = \frac{\partial F'}{\partial C_j}$ para $i,j \in \text{AT}$ .

$$\frac{\partial F'}{\partial L_i} = \beta_i \rho (L_i + \eta_i C_i)^{\rho - 1} = \beta_0 \rho (L_0 + \eta_0 C_0)^{\rho - 1} = \frac{\partial F'}{\partial L_0}$$

$$\frac{\partial F'}{\partial C_i} = \beta_i \rho (L_i + \eta_i C_i)^{\rho -1} \eta_i = \beta_0 \rho (L_0 + \eta_0 C_0)^{\rho -1} \eta_0 = \frac{\partial F'}{\partial C_0}$$

donde asumimos que la tarea 0 es automatizable, es decir $0\in \text{AT}$ .

Después de eliminar $\rho$ y resolviendo el exponente tenemos eso:

$$\frac{1}{\beta_0^{\sigma}}L_0 - \frac{1}{\beta_i^{\sigma}}L_i + \frac{\eta_0}{\beta_0^{\sigma}}C_0 - \frac{\eta_i}{\beta_i^{\sigma}}C_i = 0$$

$$\frac{1}{\beta_0^{\sigma}\eta_0^{\sigma}}L_0 - \frac{1}{\beta_i^{\sigma}\eta_i^{\sigma}}L_i + \frac{\eta_0^{1 - \sigma}}{\beta_0^{\sigma}}C_0 - \frac{\eta_i^{1 - \sigma}}{\beta_i^{\sigma}}C_i = 0$$ donde $\sigma = \frac{1}{1 - \rho}$ es el coeficiente de elasticidad de la función de producción CES.

Junto con las condiciones presupuestarias, estas ecuaciones forman un sistema de ecuaciones lineales de determinación única. Dado que $F'$ es convexo, la solución es necesariamente el mínimo.

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Hasta aquí todo bien, pero quería comprobar que la solución funciona en un ejemplo.

Elegí $C = 1, L=1, \beta_1 = 1/3, \beta_2=2/3, \rho = -0.5, \eta_0 = 1, \text{AT} = \{0\}$ .

La solución que obtengo utilizando un solucionador de álgebra lineal es $L_0 = -0.22702358, L_1 = 1.22702358, C_0 = 1, C_1 = 0$ .

Así que claramente he olvidado tener en cuenta la restricción de que cada factor individual debe ser no negativo. La pregunta es, ¿cómo puedo incorporar eso en la solución?

Answer 1

Puedes utilizar las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker. Como usted está considerando un problema de minimización, esto da: $$\frac{\partial F'}{\partial L_i} \ge \lambda \text{ with equality if $ L_i > 0 $}\\ \frac{\partial F'}{\partial C_i} \ge \mu \text{ with equality if $ C_i > 0 $}$$ donde $\lambda$ y $\mu$ son los multiplicadores de Lagrange para las restricciones de adición. Entrada de Wikipedia para KKT.