Formulación del CVaR

Question

Soy un becario de investigación y estoy trabajando en un tema sobre la maximización de los beneficios de un vendedor de noticias con aversión al riesgo mediante el uso del Valor en Riesgo Condicional.El problema es que he encontrado diferentes expresiones de CVaR. En los documentos del problema de un vendedor de noticias con aversión al riesgo, he encontrado la siguiente fórmula :

Pero, en documentos de gestión de riesgos (finanzas, etc), he encontrado el siguiente con su prueba :

La primera fórmula es un problema de maximización y la segunda, de minimización.

El problema es que no pude encontrar la relación entre las dos fórmulas.

(,D) : es una función de beneficio que depende de algunos factores que podemos controlar (vector de variables de decisión) y D representa la aleatoriedad y en este caso es la demanda aleatoria. Y es una variable aleatoria que representa la función de pérdida. es variable. No tiene un significado especial. Pero podemos demostrar que el valor en riesgo es una solución del segundo problema de optimización. Me parece que falta algo, pero no sé qué, porque primero hablamos de beneficios y luego de pérdidas. Tal vez falta algo relacionado con esto.

¿Podría ayudarme, por favor?

Gracias

Answer 1

Si $Y=-\pi(\mu,D)$ entonces la primera fórmula es $$\mathrm{CVaR}_\eta(-Y)=\max_{\nu\in R}\left\{\nu+\frac1\eta E((-Y-\nu)^-)\right\}$$ donde $X^-=\min (X,0)$ y $X^+=\max(X,0)$ . Tenga en cuenta que $(-X)^-=-(X^+)$ .

Si dejamos que $1-\alpha=\eta$ y $\nu=-a$ esto se convierte (suponiendo que $\max=\sup$ es decir, se alcanza el sup, y utilizando $\sup(\mathcal A)=-\inf(-\mathcal A)$ ): $$\begin{eqnarray*}\max_{\nu\in R}\left\{\nu+\frac{1}{1-\alpha} E(-((Y+\nu)^+))\right\}&=&\sup_{\nu\in R}\left\{\nu+\frac{-1}{1-\alpha} E((Y+\nu)^+)\right\}\\ =\sup_{a\in R}\left\{-a+\frac{-1}{1-\alpha} E((Y-a)^+)\right\} &=&-\inf_{a\in R}\left\{-\left(-a+\frac{-1}{1-\alpha} E((Y-a)^+)\right)\right\}\\ &=&-\inf_{a\in R}\left\{a+\frac{1}{1-\alpha} E((Y-a)^+)\right\}\end{eqnarray*}$$

Ahora imaginemos $\pi(\mu,D)$ es el beneficio y $Y=-\pi(\mu,D)$ es una pérdida correspondiente.

Así que el CVaR de $Y$ la pérdida, según la segunda fórmula, es el negativo del CVaR del beneficio, $-Y$ según la primera fórmula.

Así que supongo que cuando se trata de una pérdida tomamos el CVaR como negativo, véase por ejemplo un respuesta de Kozarevic .