Pregunta sobre el uso de un límite en una prueba

Question

Me encontré con un paso en un argumento que no puedo entender. Básicamente es la forma de utilizar un límite que parece que no entiendo. El contexto es la asintótica local a la unidad en autoregresiones vectoriales, así que pensé que algunas personas que hacen el trabajo empírico podría saber.

Tenemos un $K \times K$ matriz diagonal $\Lambda := \text{diag}\left( \lambda_1, \dots, \lambda_K \right)$ y definimos $h := \left[ \delta T \right]$ donde $[.]$ se refiere a la parte entera de un número y $\delta \in (0,1)$ es una fracción. Nos gustaría saber qué pasa con $\Lambda^h$ como $T \rightarrow \infty$ . El libro de texto señala que \begin{align*} \lim_{T \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{\delta \lambda_k}{T} \right)^T = e^{\delta \lambda_k} \; \forall k=1,\dots,K \end{align*} y deduce que $\Lambda^h \rightarrow e^{\delta \Lambda} := \text{diag}\left( e^{\delta \lambda_1}, \dots, e^{\delta \lambda_K} \right)$ . No entiendo muy bien lo que está pasando. Veo que el primer límite es correcto, pero no veo cómo se sigue la conclusión. Si sirve de ayuda, más adelante los autores utilizan realmente el razonamiento para afirmar que $C^h \rightarrow e^{\delta C}$ pero $C := I_K + \Lambda/T$ . Ahora, en ese caso tenemos $\left( C^h \right)_{k,k} = \left( 1 + \frac{\lambda_k}{T} \right)^{[\delta T]}$ . Todavía tengo problemas para ver cómo diablos $\delta$ puede introducirse para invocar el argumento anterior, pero la expresión es más cercana.

¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

No tiene sentido escribir $C^h \to e^{\delta C}$ como $T \to \infty$ cuando $C = I_K +\Lambda/T$ desde $e^{\delta C}$ en el lado derecho depende de $T$ .

Lo que se puede confirmar es $(C^h)_{k,k} \to e^{\delta \lambda_k}$ como $T \to \infty$ con $\delta$ arreglado. Tenga en cuenta que

$$\log (C^h)_{k,k} = \lfloor \delta T\rfloor \log\left(1 + \frac{\lambda_k}{T}\right) = \frac{\lfloor \delta T\rfloor}{T} \log\left(1 + \frac{\lambda_k}{T}\right)^T$$

Como $T \to \infty$ tenemos claramente $\log\left(1 + \frac{\lambda_k}{T}\right)^T \to \log e^{\lambda_k} = \lambda _k$ ya que $\log(\cdot)$ es continua.

Desde $ \lfloor \delta T\rfloor \leqslant \delta T < \lfloor \delta T\rfloor +1$ se deduce que $ \delta T -1 < \lfloor \delta T\rfloor \leqslant \delta T$ y $$\delta - \frac{1}{T} < \frac{\lfloor \delta T\rfloor}{T} \leqslant \delta$$ .

Por lo tanto, por el teorema del apretón, $ \frac{\lfloor \delta T\rfloor}{T} \to \delta$ como $T \to \infty$ y

$$\lim_{T \to \infty}\log (C^h)_{k,k} = \lim_{T \to \infty}\frac{\lfloor \delta T\rfloor}{T} \lim_{T \to \infty}\log\left(1 + \frac{\lambda_k}{T}\right)^T = \delta \lambda_k$$

Por lo tanto, por continuidad de $\log(\cdot)$ ,

$$\lim_{T \to \infty} (C^h)_{k,k} = e^{\delta \lambda_k}$$