Los monopolios son sólo un malentendido matemático

Question

Un pequeño rasguño en la cabeza (y un buen ejemplo de por qué debemos tener cuidado con la notación).

Consideremos un monopolio que maximiza el beneficio, que resuelve sobre el precio

$$\max \pi = PQ(P) - C(Q(P)) \tag{1}$$

Siguiendo los pasos rutinarios ( ver este post )

llegamos al importante resultado de que, al precio que maximiza el beneficio, la elasticidad precio de la demanda debe ser mayor que $1$ en términos absolutos, o inferior a $-1$ en términos algebraicos. En concreto, al precio que maximiza el beneficio tenemos

$$\eta^* = \frac {\partial Q }{ \partial P}\cdot \frac {P}{Q} <-1 \Rightarrow \frac {\partial Q }{ \partial P}P <-Q$$

$$\Rightarrow \frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q <0 \tag{2}$$

Pero $\frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q$ es la derivada de $PQ(P)$ y $PQ(P) = TR$ , Ingresos totales. Así que $\frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q = MR$ , Ingreso Marginal y acabamos de obtener que al precio de maximización del beneficio y para que la elasticidad sea mayor que $1$ en términos absolutos, debemos tener $MR^* <0$ .

Pero también ahora que en el punto de maximización del beneficio tenemos $MR^*=MC^*>0$ .

Así que la solución no existe, y por lo tanto concluimos que los monopolios son sólo un malentendido matemático.

Ahora, que me he tomado la molestia(?) de escribir este post sonriente, espero que alguien se tome las pocas decenas de segundos que requiere escribir una respuesta clara para señalar dónde está el truco.

Answer 1

$PQ(P)=TR$ , Ingresos totales.

$\frac{Q}{P}P+Q$ es la derivada de $PQ(P)$ con respecto a $P$ .

$MR$ El ingreso marginal es la derivada de $TR$ con respecto a $Q$ .

Así que en general $\frac{Q}{P}P+Q \neq MR$

Answer 2

Para complementar la respuesta de @AdamBailey, el propósito de este post era alertar a los lectores interesados sobre las consecuencias de cambiar las variables de decisión en nuestro pensamiento.

Estamos acostumbrados a pensar en la demanda como "precio que depende de la cantidad" o "cantidad que depende del precio". Pero en lo que respecta a los costes de producción, tendemos automáticamente a pensar que el coste depende de la cantidad, no del precio de venta.

Por lo tanto, ser incluso un poco tediosamente explícito con la notación vale la pena (pregúntale a los chicos de la optimización dinámica, por ejemplo El libro de Caputo ). En el ejemplo concreto, los símbolos $TR$ , $MR$ , $MC$ no revelan la variable de decisión, y en esto se basó la artimaña. Pero si, escribimos

$$\max \pi = TR[Q(P)] - C[Q(P)]$$

señalamos claramente que nuestra variable de decisión última es el precio, y así

$$f.o.c: \;\;\;MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} - MC(Q)\frac {\partial Q}{\partial P} =0 $$

$$\implies (MR(Q) - MC(Q))\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} =0 \implies MR(Q) = MC(Q)$$

mientras que también veríamos claramente que

$$\frac {\partial TR}{\partial P} = MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} = \frac {\partial Q}{\partial P}Q + Q$$

y que la exigencia de la elasticidad del precio de la demanda lleva a

$$\frac {\partial TR}{\partial P} = MR(P) = \frac {\partial Q}{\partial P}Q + Q < 0 \implies MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} < 0 \implies MR(Q) >0$$

(ya que $\frac {\partial Q}{\partial P} <0$ ). Así, en el punto óptimo, el ingreso marginal con respecto a la cantidad debe ser positivo, pero el ingreso marginal con respecto al precio debe ser negativo.