Proporcionar una ecuación diferencial de precios de bonos e invocar el Teorema de Feynman-Kac

Question

Agradezco cualquier ayuda.

Considera el proceso: $dZ=r(t)Z\,dt$ , donde $r(t)$ es el tipo de interés estocástico y $Z=Z(r,t;T)$ es un bono de cupón cero Precio. Proporcione una ecuación diferencial parcial de fijación de precios de bonos e invoque el Teorema de Feynman-Kac para demostrar que la solución requiere la medida neutral de riesgo $\mathbb{Q}$ :

$$Z(r,t;T)=\mathbb{E_t^Q}\left[\exp\left({-\int^T_tr(s)\,ds} \right)\right].$$

Todo lo que he leído sugiere escribir la PDE asociada a $Z(r,t;T)$ , integrarlo y luego tomar el valor esperado. Sin embargo, estoy atascado en el primer paso, ya que $dZ$ no se parece al habitual movimiento browniano con deriva y difusión? En cambio, el proceso evoluciona como si el dinero en el banco ganara intereses, es decir, la variación del valor del bono de cupón cero ( $dZ$ ) en un paso de tiempo ( $dt$ ) equivale a ganar intereses a un tipo $r(t)$ a lo largo del tiempo. Agradezco cualquier orientación sobre cómo enfocar esto.

Answer 1

El teorema de Feynman-Kac puede utilizarse en ambas direcciones. Es decir,

1. Si sabemos que $r_t$ sigue el proceso Ito descrito por la siguiente ecuación diferencial estocástica $$\begin{align} d{{r}_{t}}=\mu ({{r}_{t}},t)dt+\sigma ({{r}_{t}},t)d{{W}_{t}^{Q}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \end{align}$$ y se nos da una función $Z(r,t; T)$ con la condición de límite $Z(r,T; T)=1$ entonces siempre podemos obtener la solución para $Z(r,t; T)$ como ecuación $$\begin{align} {{Z}_{t}}+\mu(r_t,t)\,{{Z}_{r}}\,+\frac{1}{2}{{\sigma }^{2}(r_t,t)} {{Z}_{rr}}-{{r(t)}}\,Z=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \end{align}$$ y con la condición de contorno $Z(r,T; T)=1$ El teorema afirma que $Z(r,t; T)$ tiene la solución $$\begin{align} Z(r,t;T)={{E}^{Q}}\left[ exp\left(-\int_{t}^{T}r_s\,ds\right)\underbrace{Z(r,T;T)}_{1}\,\,|{\mathcal{F}_{t}} \right](3) \end{align}$$
2. Si sabemos que la solución de $Z(r,t; T)$ viene dada por la ecuación $(3)$ y que $r_t$ sigue el proceso en $(1)$ entonces estamos seguros de que $Z(r,t; T)$ satisface la EDP de la ecuación $(2)$ .