Vayamos a una prueba detallada y rigurosa.
Definamos nuestra moneda local $Y$ como el numéraire es decir, el activo en términos de cuyo precio se expresan los precios relativos de todos los demás bienes comerciables. $X$ es por tanto la moneda extranjera, cuyo precio en términos de $Y$ es $X(t)$ en cualquier momento $t$ .
Dejemos que $r_X(t,T)$ sea el tipo de interés sin riesgo en la moneda $X$ y $r_Y(t,T)$ el tipo de interés sin riesgo en moneda $Y$ , para la madurez $T-t$ y en el momento $t$ . Ambos están continuamente acoplados. Sean dos carteras de valor $1$ (en términos de moneda $Y$ ) en el momento $t$ : $P_1(t)=P_2(t)=1$ .
La primera cartera $P_1$ consiste en comprar moneda $X$ a precio de contado $X(t)$ e invirtiendo esta cantidad en el tipo de moneda sin riesgo $X$ . El valor final en el momento $T$ en moneda $Y$ es por lo tanto: $P_1(T)=X(t)*e^{(T-t)r_X(t,T)}/X(T)$ .
La segunda cartera $P_2$ consiste en comprar moneda $X$ en el futuro en el momento $T$ y a un precio a futuro $f(t,T)$ determinado en $t$ . Mientras tanto, el $1$ se invierte en el tipo libre de riesgo en moneda $Y$ . El valor final en el momento $T$ en moneda $Y$ es por lo tanto: $P_2(T)=e^{(T-t)r_Y(t,T)}*f(t,T)/X(T)$ .
Obsérvese que las dos carteras no tienen riesgo y tienen el mismo valor inicial. Por lo tanto, por sin arbitraje debemos tener $P_1(s)=P_2(s), \forall s\geq t$ y en particular:
$$P_1(T)=P_2(T)$$ $$X(t)*e^{(T-t)r_X(t,T)}/X(T)=e^{(T-t)r_Y(t,T)}*f(t,T)/X(T)$$ $$f(t,T)=X(t)*e^{(T-t)(r_X(t,T)-r_Y(t,T))}$$
Espero que esto ayude.
