Relación Spot-Forward - Prueba

Question

¿Alguien conoce una prueba decente para la relación spot-forward de una moneda? Llevo horas buscando en Google y no consigo nada. Mis apuntes de clase son inútiles porque ni siquiera nos dicen cuál es la relación spot-forward. Supongo que es en un entorno de Black-Scholes con tipos de interés constantes, pero quién sabe porque mi profesor no siente la necesidad de incluir esa información.

Esta es la pregunta: Escriba y demuestre en detalle la relación de contado que se satisface en la fecha $t$ por el precio de una moneda $X(t)$ y el precio a plazo $f(t,T)$ .

Eso es todo lo que tengo para seguir. Cualquier ayuda será agradecida.

Answer 1

Vayamos a una prueba detallada y rigurosa.

Definamos nuestra moneda local $Y$ como el numéraire es decir, el activo en términos de cuyo precio se expresan los precios relativos de todos los demás bienes comerciables. $X$ es por tanto la moneda extranjera, cuyo precio en términos de $Y$ es $X(t)$ en cualquier momento $t$ .

Dejemos que $r_X(t,T)$ sea el tipo de interés sin riesgo en la moneda $X$ y $r_Y(t,T)$ el tipo de interés sin riesgo en moneda $Y$ , para la madurez $T-t$ y en el momento $t$ . Ambos están continuamente acoplados. Sean dos carteras de valor $1$ (en términos de moneda $Y$ ) en el momento $t$ : $P_1(t)=P_2(t)=1$ .

La primera cartera $P_1$ consiste en comprar moneda $X$ a precio de contado $X(t)$ e invirtiendo esta cantidad en el tipo de moneda sin riesgo $X$ . El valor final en el momento $T$ en moneda $Y$ es por lo tanto: $P_1(T)=X(t)*e^{(T-t)r_X(t,T)}/X(T)$ .

La segunda cartera $P_2$ consiste en comprar moneda $X$ en el futuro en el momento $T$ y a un precio a futuro $f(t,T)$ determinado en $t$ . Mientras tanto, el $1$ se invierte en el tipo libre de riesgo en moneda $Y$ . El valor final en el momento $T$ en moneda $Y$ es por lo tanto: $P_2(T)=e^{(T-t)r_Y(t,T)}*f(t,T)/X(T)$ .

Obsérvese que las dos carteras no tienen riesgo y tienen el mismo valor inicial. Por lo tanto, por sin arbitraje debemos tener $P_1(s)=P_2(s), \forall s\geq t$ y en particular:

$$P_1(T)=P_2(T)$$ $$X(t)*e^{(T-t)r_X(t,T)}/X(T)=e^{(T-t)r_Y(t,T)}*f(t,T)/X(T)$$ $$f(t,T)=X(t)*e^{(T-t)(r_X(t,T)-r_Y(t,T))}$$

Espero que esto ayude.