Supongamos que tengo un modelo de regresión: $$y_{i}=x_{1i}\beta_{1}+x_{1i}D_{i}\beta_{2}+\epsilon $$ donde $\mathbb{E}\left[\epsilon_{i}|x_{i}\right]\neq0$ y hay existe un problema de endogeneidad. En lo anterior, piense que la variable ficticia que es igual a $1$ cuando $i$ es masculino. Como tal, este modelo permite un efecto diferencial de $x_{1i}$ en $y_{i}$ si el individuo es un hombre o una mujer. Para obtener estimaciones consistentes, supongamos que Tengo un instrumento $z_{1i}$ que es a la vez un instrumento relevante para $x_{1i}$ y satisface la restricción de exclusión (tal que $cov(z_{i},\epsilon_{i})=0).$ Si no hubiera ningún término de interacción sería trivial estimar lo anterior usando mínimos cuadrados de dos etapas, o simplemente calculando: $$ \hat{\beta}=\left(\boldsymbol{z'}x\right)^{-1}\left(\boldsymbol{z'y}\right) $$
Sin embargo, la complicación surge debido al término de interacción. ¿Cómo obtener estimaciones para ambos $\beta_{1}$ y $\beta_{2}$ ? Una opción es construir otro instrumento $D_{i}Z_{1i}$ . ¿Sería ¿este procedimiento es válido?
