¿Cómo derivar la demanda hicksiana?

Question

¿Cómo puedo derivar la demanda hicksiana, cuando del BDC sólo obtengo $\frac{p_x}{p_y} = \frac13$ sin las usuales x e y. Así que no se pueden derivar directamente de FOC, pero si introduzco la relación de precios en la restricción presupuestaria $I =p_x \cdot x + p_y \cdot y$ Obtengo los ingresos en la función de demanda, por lo que se trata de una demanda marshalliana. Al introducir la relación en la función de gasto, obtenida a partir de la función de utilidad indirecta, tampoco se obtiene la demanda hicksiana (que obtuve mediante el lema de Shephard y que es igual a $h_x = U + x + 3y$ ).

El problema es minimizar

$$p_x \cdot x + p_y \cdot y \qquad\text{s.t.}\qquad x + 3y U$$

Answer 1

El problema de minimización de gastos en la pregunta es el siguiente : $$\begin{eqnarray*} \min_{x\geq 0, y\geq 0} & \ \ p_Xx + p_Yy \\ \text{s.t.}& \ \ x + 3y \geq U \end{eqnarray*}$$ donde $p_X > 0$ , $p_Y > 0$ y $U \geq 0$ están dadas. Dado que los precios son positivos, la elección que minimice los costes cumplirá la condición de que $x + 3y = U$ . Por lo tanto, podemos reescribir el problema anterior como : $$\begin{eqnarray*} \min_{x\geq 0, y\geq 0} & \ \ p_Xx + p_Yy \\ \text{s.t.}& \ \ x + 3y = U \end{eqnarray*}$$ Ahora podemos sustituir el valor de $y = \frac{U-x}{3}$ en el objetivo y reescribir el problema como : $$\begin{eqnarray*} \min_{0 \leq x \leq U} & \ \ p_Xx + p_Y\left(\dfrac{U-x}{3}\right) \end{eqnarray*}$$

Dado que el objetivo ${\color{red} {p_Xx + p_Y\left(\frac{U-x}{3}\right) =\frac{p_YU}{3} + \left(p_X- \frac{p_Y}{3}\right)x }}$ es lineal en $x$ La solución es sencilla: $$\begin{eqnarray*} x^h(p_X, p_Y, U) \begin{cases} = U & \text{if } p_X < \frac{p_Y}{3} \\ \in [0, U] & \text{if } p_X = \frac{p_Y}{3} \\ = 0 & \text{if } p_X > \frac{p_Y}{3}\end{cases} \end{eqnarray*}$$

Answer 2

Para empezar, trace la línea para la que $$\begin{equation} x + 3y = U \end{equation}$$ La línea roja del gráfico anterior es esta línea. Para simplificar, he supuesto que U = 9 en este caso, pero la solución funcionaría para cualquier U > 0.

La región a la derecha de esta línea satisfaría su restricción, pero como estamos interesados en minimizar nuestro coste, querríamos que nuestra línea presupuestaria intersectara esta línea en particular.

Caso 1: La línea de presupuesto es más plana (línea negra) que la línea de restricción, es decir, Px/Py < 1/3. Para minimizar el coste, la línea debe ser tal que intercepte la línea de restricción en la esquina derecha donde x = U.

Caso 2: La línea presupuestaria es más pronunciada (línea morada) que la línea de restricción, es decir, Px/Py > 1/3. Para minimizar el coste, la línea debe ser tal que intercepte la línea de restricción en la esquina izquierda donde x = 0.

Caso 3: Si la pendiente de la recta de presupuesto es igual a la pendiente de la recta de restricción, es decir, si Px/Py = 1/3, cualquier punto de la recta de restricción sería un punto de solución. x puede variar en cualquier lugar entre 0 y U.