Programación dinámica con consumo de vivienda y mano de obra

Question

Trato de resolver el siguiente problema de maximización de un hogar representativo con programación dinámica. Sin embargo, mi último resultado no es similar a la solución. ¿Podría alguien ayudarme?

$$\max\limits_{C_{t},H_t,N_t} E_0 \sum_{t=0}^{\infty} \beta^t\Bigg[logC_t+jlogH_t-\dfrac{(N_t)^\eta}{\eta}\Bigg]$$ $C_t,H_t,N_t$ representan el consumo en el momento t, el stock de viviendas y las horas de trabajo, respectivamente. Restricción presupuestaria de los hogares:

$C_t + b_t +q_t(H_t-H_{t-1})=\dfrac{R_{t-1} b_{t-1}}{\pi_t}+w_t N_t+F_t$

$b_t$ denota los depósitos bancarios, $R_t$ es el rendimiento del depósito, $q_t$ es el precio de la vivienda, $\pi_t$ es la tasa de inflación y $w_t$ es el tipo de salario real. $F_t$ denota los beneficios recibidos de las empresas. Para resolver este problema, utilizo la programación dinámica con estos pasos: Paso 1: Ecuación de Bellman:

Identifico $b_{t-1}$ como variable de estado, ya que el hogar debe conocer el depósito del periodo anterior. La restricción presupuestaria puede reescribirse como $b_t=f(C_t,b_{t-1},H_t,H_{t-1},N_t,F_t,q_t,R_{t-1},\pi_t)$

Paso 1: Establecimiento de la ecuación de Bellman:

$V(b_{t-1})=\max\limits_{C_{t},H_t,N_t} \Bigg\{logC_t+jlogH_t-\dfrac{(N_t)^\eta}{\eta} +\beta E_tV(b_t) \Bigg\}$

Evolución de la variable costate $b_t$ utilizando el teorema de la envolvente:

$$\dfrac{\partial V(b_{t-1})}{\partial b_{t-1}} =\beta E_t \dfrac{\partial V(b_{t})}{\partial b_{t}} \dfrac{\partial b_t}{\partial b_{t-1}} = \beta E_t V'(b_t) \dfrac{R_{t-1}}{\pi_t}$$ (1)

Paso 2: FOC

Condición de primer orden (FOC1) $$\dfrac{\partial V(b_{t-1})}{\partial C_t}=\frac{1}{C_t}+\beta E_t V'(b_t)\dfrac{\partial b_t}{\partial C_t}=0$$ $\dfrac{\partial b_t}{\partial C_t}=-1$

$\dfrac{1}{C_t}=\beta E_t V'(b_t)$ (2)

Insertando (2) en (1) dos veces para obtener la ecuación de Euler, tenemos:

$$\dfrac{1}{C_t}=\beta E_t \Bigg(\dfrac{R_t}{\pi_{t+1 C_{t+1}}}\Bigg)$$

Este resultado es similar a la solución

FOC2: $$\dfrac{\partial V(b_{t-1})}{\partial N_t}=-(N_t)^{\eta-1}+\beta E_t V'(b_t)w_t=0$$ Insertando (2), tenemos: $\dfrac{1}{C_t} w_t = -(N_t)^{\eta-1}$ , Este resultado es similar a la solución

FOC3: El tercer FOC consiste en tomar la derivada parcial de $V(b_{t-1})$ con $H_t$ pero no puedo obtener el mismo resultado con la solución: La solución es: $$\dfrac{j}{H_t}=\dfrac{1}{C_t}q_t-\beta E_t \dfrac{1}{C_{t+1}}q_{t+1}$$

Sólo termino con:

$$\dfrac{\partial V(b_{t-1})}{\partial H_t}=\dfrac{j}{H_t}+\dfrac{1}{C_t}(-q_t)=0$$ ¿Me he perdido algo? ¿He identificado correctamente la variable de estado? Sospecho que tiene algo que ver con $H_t$ y $H_{t-1}$ pero no puedo entenderlo

Answer 1

$$V(b_{t-1})=\max\limits_{C_{t},H_t,N_t} \Bigg\{\ln C_t+j\ln H_t-\dfrac{(N_t)^\eta}{\eta} +\beta E_tV(b_t) \Bigg\}$$

así que

$$\beta E_tV(b_{t})=\beta E_t\left[\max\limits_{C_{t+1},H_{t+1},N_{t+1}} \Bigg\{\ln C_{t+1}+j\ln H_{t+1}-\dfrac{(N_{t+1})^\eta}{\eta} +\beta E_{t+1}V(b_{t+1}) \Bigg\}\right]$$

Pero al adelantar la restricción presupuestaria

$$C_t + b_t +q_t(H_t-H_{t-1})=\dfrac{R_{t-1} b_{t-1}}{\pi_t}+w_t N_t+F_t$$

que obtenemos después de la reordenación,

$$C_{t+1} =- b_{t+1} -q_{t+1}(H_{t+1}-H_{t})+\dfrac{R_{t} b_{t}}{\pi_{t+1}}+w_{t+1} N_{t+1}+F_{t+1}$$

Así que $\beta E_tV(b_{t})$ también es una función de $H_t$ a través de $C_{t+1}$ .