Significado de los coeficientes de regresión

Question

Tengo algunos problemas para entender exactamente qué se entiende por los coeficientes de regresión "verdaderos". Digamos que se afirma que "los verdaderos coeficientes de regresión se dan como $y=a+bx+e$ donde el término de error cumple todos los supuestos de OLS. ¿Significa esto que

a) Dado el conocimiento del valor que toma x uno describiría su creencia sobre el valor que toma y con la distribución de probabilidad del lado derecho.

b)un cambio de una unidad de x en un caso determinado haría que el valor esperado de y cambiara en b.

Answer 1

A) no estoy seguro de a qué te refieres exactamente con distribución de probabilidad, pero si te refieres a la distribución de Y potencial dada la distribución del coeficiente estimado b y a, sería correcto, aunque normalmente nos fijamos en la expectativa para obtener un único número que en la distribución, en cuyo caso sería $E(Y|X)$

b) es correcto

Answer 2

Quizá sea demasiado largo para un comentario, así que lo escribo como respuesta. Disculpas si me he perdido alguna discusión en curso. Permítanme decir el fondo general primero y luego mis pensamientos sobre la pregunta de OP.

El modelo $y=a+bx+e$ como tal no nos dice nada sobre lo que el verdadero $b$ es. Necesitamos más restricciones para identificar $b$ . Puede haber muchas formas de hacer restricciones de identificación. Algunas son:

1. $E(e|x)=0$ ,

2. $median(e|x)=0$ ,

3. $e|x \sim N(0, \sigma^2)$ ,

4. la distribución de $e$ con la condición de $x$ es independiente de $x$ ,

5. $E(e|z_1, z_2)=0$ para algún otro dado $z_1$ y $z_2$ ,

o muchos otros posibles. Tenemos 3 => 1, 4 => 1, 3 => 2 y 4 => 2. Cada restricción identificativa está asociada a la "verdadera" $b$ parámetro. El verdadero $b$ identificado por 1 no es necesariamente igual al de 2. Sabemos que el verdadero $b$ por 1 (el límite de probabilidad de OLS) puede ser diferente de la verdadera $b$ por 5 (el límite de probabilidad de 2SLS).

La identificación por la condición 1 da la "interpretación b" de la OP. La "interpretación a" de OP parece estar relacionada con la opción 3 o 4 anterior, pero no está clara ya que OP no da suficiente información sobre la distribución de la población. La distribución de $y$ (o, en su defecto, de $e$ ) dado $x$ debe especificarse de alguna manera para lograr la identificación del verdadero $b$ .

Cómo interpretar $b$ es en realidad lo mismo que cómo definir el verdadero $b$ y definiendo $b$ requiere restricciones. Como dije al principio, sólo escribir $y=a+bx+e$ es poco informativo sobre lo que el verdadero $b$ es.

Ahora a la pregunta, el OP dice, "el término de error cumple con todos los supuestos de OLS", lo que entiendo como $E(e|x)=0$ . Entonces la interpretación "b" de la OP es correcta. Obsérvese que "b" es correcta porque la OP así lo ha asumido ("se cumplen los supuestos de MCO") y no por ninguna otra razón de peso.

El verdadero $b$ asociada a la "a" de OP (si se especificó la distribución de probabilidad) puede o no ser igual a la verdadera $b$ asociado a $E(e|x)=0$ . Pero si la distribución de $e$ con la condición de $x$ es independiente del $x$ entonces su media condicional también debería ser independiente de $x$ . Por lo tanto, "a" también es correcta si se reformula a algo como (c) "Dado el conocimiento del valor $x$ toma uno describiría su creencia sobre el valor $y$ toma con la distribución de probabilidad descrita por el lado derecho bajo el supuesto de que la distribución de $e$ con la condición de $x$ es independiente de $x$ ". Eso es porque 4 implica 1. Aquí correcto significa que el parámetro verdadero definido por "c" es el mismo que el parámetro verdadero definido por "b".