Entender el óptimo de Pareto

Question

Estoy estudiando una economía de intercambio en la que tengo dos tipos de bienes y n consumidores. La mitad de los consumidores tienen una función de utilidad dada por $U(x)= 5\ln{x} +m$ y la otra mitad de los consumidores tienen un $U(x) = 3\ln{x} + m$ . Todos los consumidores han recibido una dotación inicial de $20$ del bien $x$ y $10$ del bien $m$ .

Necesito encontrar cuál es la cantidad máxima de bien $x$ que el primer tipo de consumidores puede conseguir en una asignación óptima de Pareto bajo la restricción $m>0$ para todos los consumidores

Para resolverlo, empecé creando la siguiente ecuación: $$\begin{align*} \frac{\frac{\partial U_1}{\partial x_1}}{\frac{\partial U_1}{\partial m_1}} &= \frac{\frac{\partial U_2}{\partial x_2}}{\frac{\partial U_2}{\partial m_2}}\\ \frac{\frac{5}{x_1}}{1} &= \frac{\frac{3}{x_2}}{1}\\ \frac{5}{x_1} &= \frac{3}{x_2}\\ \frac{5}{x_1} &= \frac{3}{20-x_1} \end{align*}$$

Sin embargo, este enfoque no me da la solución correcta, ni incluye la dotación inicial de $m$ . ¿Puede alguien ayudarme a entender lo que me falta?

Answer 1

No veo ningún problema en $m$ estando ausente de la ecuación, ya que entra de forma aditiva en la función de utilidad. La utilidad parcial obtenida de este bien está representada en el 1 que se obtiene en la derivada. Es decir, la utilidad marginal que se obtiene de una unidad extra de $m$ es independiente de la cantidad que el individuo consuma de $m$ . Además, como ambos tipos de consumidores valoran la $m$ bien por igual, la distribución de $m$ es entonces irrelevante para la optimización de cualquier asignación. Su solución le dice que la relación entre el nivel de consumo de $x_1$ y $x_2$ es la de 5 a 3.

Entonces, lo que hay que hacer es asignar los recursos agregados entre todos los consumidores de forma que se mantenga la proporción. Si dos tipos de consumidores tienen en total 40 unidades de $x$ entonces la asignación es de 25 para los consumidores de tipo uno y 15 para los de tipo dos.