Estoy estudiando una economía de intercambio en la que tengo dos tipos de bienes y n consumidores. La mitad de los consumidores tienen una función de utilidad dada por $U(x)= 5\ln{x} +m $ y la otra mitad de los consumidores tienen un $U(x) = 3\ln{x} + m$ . Todos los consumidores han recibido una dotación inicial de $20$ del bien $x$ y $10$ del bien $m$ .
Necesito encontrar cuál es la cantidad máxima de bien $x$ que el primer tipo de consumidores puede conseguir en una asignación óptima de Pareto bajo la restricción $m>0$ para todos los consumidores
Para resolverlo, empecé creando la siguiente ecuación: \begin{align*} \frac{\frac{\partial U_1}{\partial x_1}}{\frac{\partial U_1}{\partial m_1}} &= \frac{\frac{\partial U_2}{\partial x_2}}{\frac{\partial U_2}{\partial m_2}}\\ \frac{\frac{5}{x_1}}{1} &= \frac{\frac{3}{x_2}}{1}\\ \frac{5}{x_1} &= \frac{3}{x_2}\\ \frac{5}{x_1} &= \frac{3}{20-x_1} \end{align*}
Sin embargo, este enfoque no me da la solución correcta, ni incluye la dotación inicial de $m$ . ¿Puede alguien ayudarme a entender lo que me falta?
