Estacionariedad vs dependencia débil

Question

Estoy haciendo un curso de pregrado en econometría donde estamos usando el libro Introducción a la Econometría de Dougherty. Mientras estábamos viendo series temporales, se mencionó que una de las suposiciones necesarias para justificar el MCO es la débil dependencia, la cual indica que este concepto se cubrirá con más detalle en el próximo capítulo, que, después de completarlo, trata principalmente sobre estacionariedad y no menciona la débil dependencia. Ahora me pregunto si la débil dependencia y la estacionariedad son similares o están relacionadas.

En un libro en particular, Introducción a la Econometría de Wooldridge, él afirma que la débil dependencia y la estacionariedad son conceptos diferentes. Mientras afirma que la débil dependencia es una suposición necesaria para el MCO, la estacionariedad no lo es, pero es necesaria para que se cumpla la Teoría del Límite Central. Wooldridge también define un proceso integrado como un proceso altamente dependiente que puede transformarse en uno débilmente dependiente. Mientras que Dougherty (y Gujarati) relacionan el proceso integrado con la estacionariedad.

¿Podría alguien aclarar los conceptos de estacionariedad vs débil dependencia y cómo encajan en el MCO, así como la definición de proceso integrado?

Answer 1

La estacionariedad débil y la dependencia débil son condiciones complementarias.

Una serie temporal débilmente estacionaria $y_t$ tiene un proceso estadístico subyacente que es invariante en el tiempo.

Esto se caracteriza por tres condiciones:

1. $$E(y_t)= \mu$$
2. $$E((y_t-\mu)^2)=\sigma^2 <\infty$$
3. $$Cov(y_t,y_{t+s})=Cov(y_t,y_{t-s})$$

La condición (1) indica que una serie débilmente estacionaria tiene un promedio incondicional subyacente (o equilibrio de largo plazo).

La condición (2) indica que la varianza incondicional de una serie débilmente estacionaria no cambia a lo largo del tiempo y permanece dentro de un cierto rango/finita.

La condición (3) indica que una serie débilmente estacionaria tiene dinámicas estables (simétricas) entre períodos, que solo dependen del número de períodos, en lugar del tiempo en sí.

Es decir, la condición (3) establece que en un proceso débilmente estacionario podemos asumir una relación estable entre ciertos períodos, independientemente de si es el año 2000 o el año 3000. El tiempo no juega ningún papel, solo la relación entre períodos.

Dependencia Débil:

La dependencia débil asegura la reversión a la media de un proceso subyacente.

La dependencia débil establece que la correlación entre $y_t$ y los períodos futuros $y_{t+h}$, tiende a cero lo suficientemente rápido. Y a medida que los períodos aumentan hacia el infinito, la dependencia debería tender a cero.

$$Corr(y_t,y_{t+h})\rightarrow 0, h\rightarrow\infty$$

Importancia en el Contexto de Series Temporales

Con datos de series temporales, nuestro objetivo central sigue siendo estimar la magnitud del cambio en Y en términos de una relación unidireccional lineal desde X.

Es decir, nuestro objetivo es tomar una serie temporal de muestra y ajustar una línea que explique mejor el cambio en Y dado la característica X de la población subyacente.

Sin embargo, en el contexto de series temporales, la realización de estimaciones representativas de la población subyacente se ve obstaculizada por el fracaso de las condiciones i.i.d.

Una serie temporal evolutiva (no estacionaria) implica que las observaciones no se extraerán de una distribución idéntica y que las estimaciones de los parámetros no transmitirán una relación lineal constante (invariante en el tiempo) en Y dado X;

Además, dado que los datos de series temporales están necesariamente distribuidos de manera no independiente (es decir, las realizaciones actuales dependen de las realizaciones pasadas), entonces nuevamente las estimaciones de los parámetros ya no transmitirán información sobre la población subyacente.

Se desprende que dos propiedades mutuamente dependientes deben mantenerse para garantizar las condiciones i.i.d conocidas como:

• Dependencia débil suficientemente rápida - las variables aleatorias deben mostrar memoria finita/independencia asintótica;

• Estacionariedad débil - las propiedades estadísticas subyacentes (media, varianza y covarianza) deben ser invariantes en el tiempo como si fueran extraídas de una distribución idéntica.

Se debe tener en cuenta que ambas condiciones son mutuamente dependientes, dado que una memoria finita lo suficientemente rápida es un requisito para que un proceso muestre reversión a la media a alguna población subyacente.

Además, la combinación de dependencia débil y estacionariedad débil garantiza que se cumpla una propiedad conocida como estacionariedad ergódica.

Básicamente, la estacionariedad ergódica implica que con un rápido retorno a una distribución idéntica, entonces las realizaciones son representativas del proceso mayor, y el promedio es relevante.

Además, la estacionariedad débil es importante en términos de la condición de exogeneidad para controlar una relación causal, dado que si se mantiene una exogeneidad contemporánea en un período; entonces, por la estacionariedad débil, debería mantenerse para todos los períodos.

Además, la estacionariedad ergódica garantiza que el proceso imite una muestra aleatoria independiente necesaria para mantener válidos LoLN/estimación consistente/CLT.

Finalmente, la estacionariedad débil evita el problema de la llamada regresión espuria en la que dos series mutuamente tendenciales se identifican erróneamente como tener una relación causal.