Endogeneidad e interpretación del efecto parcial de los coeficientes

Question

¿Es posible conservar la interpretación del efecto parcial de los coeficientes/parámetros, cuando hay endogeneidad? No veo cómo es posible con el 2SLS... Wooldridge, en su libro de postgrado habla de un caso especial, en un modelo de coeficientes aleatorios, pero en el que sólo podemos hablar de la interpretación del efecto parcial medio (APE).

Imagina que tenemos el modelo: $y=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+u$ . ¿De dónde viene la interpretación del efecto parcial? Suponiendo que $E(u|x_1,x_2)=0$ , $E(y|x_1,x_2)=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2$ . Manteniendo constante todo lo conocido excepto $x_2$ (efecto parcial de $x_2$ ), es decir $E(y|x_1,x_2=1)-E(y|x_1,x_2=0)=\beta_2$ . Ahora bien, si $x_2$ es endógena, entonces $Cov(x_2,u)\neq 0 \Rightarrow E(u|x_1,x_2)\neq 0$

Entonces $E(y|x_1,x_2=1)-E(y|x_1,x_2=0)=\beta_2+E(u|x_1,x_2=1)-E(u|x_1,x_2=0)$ .

Si la estimación del IV es consistente, nos da $\beta_2$ pero ese no es el efecto parcial de $x_2$

Apéndice :

Alecos, Así que vamos a ser específicos sobre la interacción entre $x_2$ y $u$ . Supongamos que $u=\beta_{\nu} x_2\ \nu+v$ , donde $\nu$ es inobservable, y $v$ es un término de error tal que $Cov(x_2,v)= 0$

Entonces, asumiendo que podemos condicionar sobre la variable no observada, tenemos $\frac{\partial E(y|x_1,x_2,q)}{\partial x_2}= \beta_2+\beta_{\nu}q$ . No hay forma de estimar este efecto, ¿o sí?

Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

No estoy seguro de dónde está la cuestión de la interpretación. Si miramos una relación

$$y = b_0 + b_1x_1 + u \tag{1}$$

y declaramos que nos gustaría estimar $b_0$ y $b_1$ pero que $x_1$ es "endógena", estamos revelando esencialmente que nos interesa el efecto parcial de $x_1$ en $y$ en la relación

$$y = b_0 + b_1x_1 + \delta'\mathbf x{^*} + e \tag{2}$$

donde $\mathbf x{^*}$ contiene todo las variables (conocidas o desconocidas por nosotros) que están correlacionadas con $x_1$ (y tienen algo que ver con $y$ también), y por lo tanto, $e$ es el error de la función de expectativa condicional (no cualquier término de error), y como tal, por la construcción sin correlación con todas las variables. Por desgracia, $\mathbf x{^*}$ es inobservable o no está disponible para nosotros. Una estimación IV válida nos permitirá, sin embargo, estimar de forma consistente $b_1$ ... que es el efecto parcial de $x_1$ en $y$ en la relación anterior $(2)$ .

Incluso si no podemos tener en cuenta la endogeneidad, el problema será que nuestras estimaciones convergerán a algún lugar desconocido. Así que, aunque sigamos intentando estimar el efecto parcial de $x_1$ en relación $(2)$ Nuestras estimaciones numéricas serán inaceptables y sospechosas en cuanto a su valor (debido a la deficiencia del método de estimación), y no porque el objetivo de investigación deseado (pero inalcanzable) pierda su interpretación fundamental. Nuestras estimaciones serán "efectos parciales mal estimados". No es lo mismo que decir "no son efectos parciales" (epistemológicamente hablando).

ADDENDUM Respondiendo a los comentarios de la OP y su mejora de la pregunta, nada nos impide escribir $\partial E(y \mid x, x^*)/\partial x$ . Al mismo tiempo que se realiza nuestra muestra, también se $x^*$ realizado, independientemente de que conozcamos o no su valor realizado. Ahora bien, hay que tener en cuenta que los coeficientes/efectos parciales se suponen constantes en esta configuración lineal, independientemente de de la variabilidad de los regresores: el efecto parcial será el mismo para todos los individuos de la muestra, independientemente de su valor real para el regresor observable

$$\partial E(y_i \mid x_{1i}, x^*_{1i})/\partial x_{1i} = \partial E(y_j \mid x_{1j}, x^*_{1j})/\partial x_{1j} = \beta_1$$

por supuestos, donde $i,j$ son dos observaciones/individuos diferentes en la muestra.