Derivación de una curva de demanda a partir de una utilidad Cobb-Douglas

Question

Probablemente sea una pregunta tonta, pero derivé una ecuación para una curva de demanda a partir de una función de utilidad general Cobb-Douglas $$U(x,y)=\beta x^{\alpha}y^{1-\alpha}$$ dada una restricción presupuestaria $$M=xP_x+yP_y$$ y se encontró que la cantidad de $x$ exigido sería $$x=\frac{\alpha M}{P_x}$$ .

que me sorprendió en el sentido de que esta función es independiente del precio del bien $y$ . Veo algunas referencias en estas páginas que sugieren que no cometí ningún error espectacular pero, mi entendimiento elemental es que la curva de demanda es una función de muchas cosas, no menos el precio de otros bienes relacionados. Ahora bien, seguramente los bienes $x$ y $y$ son sustitutos hasta cierto punto?

Ahora, mi pregunta es esta, ¿es mi entendimiento de esto esencialmente correcto y, qué tipo de funciones de utilidad generarían curvas de demanda $x=f(P_x, P_y, M, etc)$ ?

Gracias

Answer 1

Si se toma la clase general de funciones de utilidad CES, de las que Cobb-Douglas es un caso especial, se obtiene efectivamente una función de demanda que depende de otros precios. En concreto, la función de utilidad CES (sobre $n$ bienes, $x_1,\dots,x_n$ ) tiene la forma \begin{equation} u(x_1,\dots,x_n)=\bigl[\alpha_1x_1^\rho+\cdots+\alpha_nx_n^\rho\bigr]^{1/\rho}, \end{equation} donde $\rho\in(-\infty,1]\setminus\{0\}$ , $\alpha_i\in[0,1]$ y $\sum_i\alpha_i=1$ . Interpretamos $\alpha_i$ como la cuota de consumo del bien $i$ y $\sigma\equiv\frac{1}{1-\rho}$ como la elasticidad de sustitución constante. Obsérvese también que cuando $\sigma=1$ (o $\rho\to0$ ), obtenemos la forma de utilidad Cobb-Douglas.

Resolviendo la maximización de la utilidad sujeta a la restricción presupuestaria habitual, obtenemos la demanda del bien $i$ como \begin{equation} x_i(p_1,\dots,p_n,M)=\frac{M(\alpha_i/p_i)^\sigma}{\sum_{j=1}^n\alpha_j^\sigma p_j^{1-\sigma}},\quad i=1,\dots,n. \end{equation} De nuevo, observe que cuando $\sigma=1$ obtenemos la demanda asociada a la utilidad Cobb-Douglas.

La elasticidad de sustitución rige el modo en que cambian los gastos relativos en diferentes bienes cuando cambian los precios relativos. Tomemos un ejemplo de dos bienes. Un aumento del precio relativo $p_1/p_2$ es decir, que el bien 1 sea relativamente más caro, provoca dos efectos simultáneos:

1. el gasto por unidad del bien 1 aumenta, ya que el bien 1 cuesta ahora más en términos relativos; y
2. la cantidad demandada del bien 1 disminuye debido a la ley de la demanda.

Se trata de efectos opuestos sobre el gasto en el bien 1 en relación con el bien 2. Resulta que la elasticidad de sustitución determina qué efecto domina. Si $\sigma>1$ el segundo efecto domina, y si $\sigma<1$ el primer efecto domina. Cuando $\sigma=1$ en el caso de Cobb-Douglas, los dos efectos se anulan exactamente, por lo que el gasto relativo es independiente de los precios relativos, y sólo depende de los parámetros de preferencia (el $\alpha_i$ 's).

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Por supuesto, la utilidad CES no es la única clase de funciones de utilidad que generan demandas dependientes de los precios de otros bienes. Otra forma común de función de utilidad, la función de utilidad cuasi-lineal, \begin{equation} u(x_1,\dots,x_n)=x_1+v(x_2,\dots,x_n), \end{equation} donde $v(\cdot)$ es estrictamente creciente y estrictamente cóncavo, también genera funciones de demanda que dependen de otros precios. Un ejemplo común es $u(x_1,x_2)=x_1+2\sqrt{x_2}$ . Confío en que pueda comprobar que ambos $x_1$ y $x_2$ dependen de los dos precios $p_1$ y $p_2$ .