Modelo de crecimiento de Ramsey: variables per cápita y agregadas

Question

Estoy leyendo un artículo Okuguchi,1981 con un modelo de crecimiento de Ramsey. Hay un crecimiento constante de la población $n$ como $L(t)=e^{nt}$ . La forma en que escribe el Hamiltoniano es bastante interesante (ecuación 5 en la página 658.)

$$H=e^{-(\rho+n\left(1-\sigma\right))t}\left[\frac{C^{1-\sigma}}{1-\sigma}+\psi AG+\phi\left(Q-C\right)\right]+\lambda R$$

donde las mayúsculas representan las variables agregadas y no las per cápita. $\lambda$ es constante en el modelo.

De hecho, el autor no se ocupa de las variables per cápita, sino de las variables agregadas. Por supuesto, tiene en cuenta el crecimiento de la población ya que $n$ aparece en la dinámica de los estados. Sin embargo, no puedo entender cómo pone el término exponencial $e^{-(\rho+n\left(1-\sigma\right))t}$ en el Hamiltoniano de esta manera. Agradecería mucho que me dierais alguna pista o sugerencia.

Del mismo modo, ¿es correcto escribir algo como

$$H=e^{-(\rho-n)t}\left[U\left(C\right)+\lambda\left(AK-C\right)+\mu\left(\left(1-S\right)S-\gamma AK\right)\right]$$

Answer 1

Para el per cápita $c=C/L$ Supongo que viene de

$$\int_0^{\infty}e^{-\rho t}\frac{c(t)^{1-\sigma}}{1-\sigma} dt = \int_0^{\infty}e^{-\rho t}\frac{(C(t)/L(t))^{1-\sigma}}{1-\sigma} dt$$

$$= \int_0^{\infty}L(t)^{-(1-\sigma)}e^{-\rho t}\frac{C^{1-\sigma}}{1-\sigma} dt$$

Normalizar la población inicial a $L_0=1$ tenemos $L(t) = e^{nt}$ así que

$$...= \int_0^{\infty}(e^{nt})^{-(1-\sigma)}e^{-\rho t}\frac{C(t)^{1-\sigma}}{1-\sigma} dt = \int_0^{\infty}e^{-(1-\sigma)nt}e^{-\rho t}\frac{C(t)^{1-\sigma}}{1-\sigma} dt$$

$$=\int_0^{\infty}e^{-[\rho+(1-\sigma)n]t}\frac{C(t)^{1-\sigma}}{1-\sigma} dt$$

En cuanto a la aplicación del factor de descuento en todo el Hamiltoniano, sólo implica que los multiplicadores $\lambda$ y $\mu$ deben ser tratados como valor actual multiplicadores, y no valor actual multiplicadores. En la formulación de los libros de texto y en las magnitudes per cápita, solemos utilizar los multiplicadores de valor actual (corriente) e ignoramos totalmente el factor de descuento. Esto afecta a la condición intertemporal de primer orden. En notación genérica, denotemos $B$ la variable de estado, $q$ el multiplicador y $r$ el factor de descuento. Entonces, con mutliplicadores de valor presente, tenemos

$$\frac{\partial H}{\partial B} = -\dot q$$

mientras que si interpretamos $q$ como multiplicador del valor actual tenemos

$$\frac{\partial H}{\partial B} = r q-\dot q $$