Precios del árbol binomial el put americano

Question

Cuando utilicemos el árbol binomial para fijar el precio de la opción de venta americana, debemos comparar el valor descontado de los últimos nodos y el valor intrínseco en cada nodo.

Pero me confunde que, el valor descontado de los últimos nodos es el valor de la opción de venta europea en este nodo, y el valor de la opción de venta europea es siempre mayor que su valor intrínseco, ¿cómo ocurre que el valor intrínseco es mayor que el valor descontado?

Para la declaración the value of European put is always greater than its intrinsic value, Obtengo del libro Problems and Solutions in Mathematical Finance Equity Derivatives. Volume 2 page 74

Answer 1

El resultado simplemente no es cierto. Si fuera cierto, las opciones de venta americanas no se ejercitarían anticipadamente y valdrían lo mismo que las europeas.

La prueba es defectuosa. La configuración de $\pi_t$ no tiene sentido. No podemos tomar $$\max(S_t-K,0)$$ como parte de una cartera de autofinanciación. Podríamos tomar bonos por ese valor, pero no valdrían $$\max(S_T-K,0)$$ al final.

Answer 2

Supongamos que los tipos de interés son deterministas y que no hay dividendos para no complicar las anotaciones.

Porque el valor descontado de toda cartera autofinanciada es una martingala bajo $\Bbb{Q}$ se puede expresar el precio de la opción de venta europea como una expectativa neutral al riesgo de la siguiente manera: $$P(S_0;K,T)=\frac{1}{B_T} \Bbb{E}^\Bbb{Q}_0\left[\text{max}(KS_T,0)\right] \tag{1}$$ Desde $f : x \to \max(0, x)$ es una función convexa, se puede aplicar la desigualdad de Jensen al lado derecho de $(1)$ . Además, utilizando el hecho de que $S_t/B_t$ también es un $\Bbb{Q}$ martingala bajo nuestros supuestos de trabajo, se obtiene: $$\begin{align} P(S_0;K,T) &\geq \text{max}\left( \Bbb{E}^\Bbb{Q}_0\left[\frac{K}{B_T} \frac{S_T}{B_T} \right], 0 \right) \\ &\geq {\color{green}{\max\left( \frac{K}{B_T} - S_0, 0 \right)}} \end{align}$$ Por lo tanto, tenemos una igualdad que relaciona el precio de la opción de venta (en azul abajo) con el RHS anterior (en verde abajo), que no es el valor intrínseco (en naranja abajo). Esto se ilustra tomando el ejemplo dado en el comentario de @Chris Taylor