Actualmente estoy luchando por probar el estabilidad de la trayectoria de la silla de montar en el Modelo Ramsey-Cass-Koopmans . Basado en los libros Introducción al crecimiento económico moderno de D. Acemoglu (capítulos 7 y 8) y Matemáticas para economistas de Blume y Simon (capítulo 25.4), se dio lo siguiente:
Consideremos el problema de valor límite, correspondiente a las condiciones de equilibrio, del modelo de crecimiento neoclásico (Ramsey) de referencia
$ \dot k(t) =f(k(t))-(\delta+n)k(t)-c(t) \\ \dot c(t) =\frac{c(t)}{\epsilon_u(c(t))}(f'(k(t))-\delta-\rho) $
con sujeción a $ k(t) , ~ c(t) 0 $ la condición de valor inicial $ k(0) = k_0 > 0 $ y la condición de transversalidad
$ \lim_{t \rightarrow \infty} \big[k(t)e^{-\int_0^t(f'(k(s))-\delta-n)ds}\big]=0 $
donde
$ \epsilon_u(c(t)) \equiv - \frac{u''(c(t))~c(t)}{u'(c(t))} $
es la elasticidad de la utilidad marginal del consumo, y $ > 0 $ y $ 0 < < 1.$ Suponemos que la función de producción $ f (·) $ satisface $ f (0) = 0,~ f (k) > 0,~ f (k) < 0 $ para todos $ k > 0 $ (por lo que presenta rendimientos marginales decrecientes del capital), y las dos condiciones de Inada, $ \lim_{k0} f (k) = $ y $\lim_{k} f (k) = 0 $ .
Aquí está mi intento:
Primero, linealicé las dos ecuaciones diferenciales $ \dot c(t) $ y $ \dot k(t)$ . Luego, hice una expansión de Taylor de primer orden alrededor del estado estacionario $(k^, c^) $ que da
$ \begin{bmatrix} \dot k(t)\\ ~ \\ \dot c(t) \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} \frac{\partial \dot k(t)}{\partial k(t)} \big\rvert_{k(t) = k^*,c(t)=c^*} & \frac{\partial \dot k(t)}{\partial c(t)} \big\rvert_{k(t) = k^*,c(t)=c^*} \\ ~ \\ \frac{\partial \dot c(t)}{\partial k(t)}\big\rvert_{k(t) = k^*,c(t)=c^*} & \frac{\partial \dot c(t)}{\partial c(t)} \big\rvert_{k(t) = k^*,c(t)=c^*} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k(t)- k^* \\ ~ \\ c(t)- c^* \end{bmatrix} \\ ~ \\ = \begin{bmatrix} f'(k^*) - (\delta + n) & - 1 \\ ~ \\ \frac{c^*}{\epsilon_u(c^*)} f''(k^*) & \frac{1}{\epsilon_u(c^*)} \big(f'(k^*)-\delta - \rho \big) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k(t)- k^* \\ ~ \\ c(t)- c^* \end{bmatrix} \\ ~ \\ $
Como sabemos
$ \dot k(t)=0 \implies c^*=f(k^*)-(\delta+n)k^* \\ \dot c(t)=0 \implies f'(k^*)=\delta + \rho $
el modelo linealizado se simplifica a
$ \begin{bmatrix} \dot k(t)\\ ~ \\ \dot c(t) \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} \rho - n & - 1 \\ ~ \\ \frac{c^*}{\epsilon_u(c^*)} f''(k^*) & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k(t)- k^* \\ ~ \\ c(t)- c^* \end{bmatrix} \\ ~ \\ $
donde $ c^*f''(k^*)/\epsilon_u(c^*) < 0$ y $\rho - n > 0$ .
Entonces definí
$ A \equiv \begin{bmatrix} \rho - n & - 1 \\ ~ \\ \frac{c^*}{\epsilon_u(c^*)} f''(k^*) & 0 \end{bmatrix} $
Así, obtenemos
$ \begin{equation} det(A) =\frac{c^*}{\epsilon_u(c^*)}f''(k^*) < 0 \\ tr(A) = \rho - n > 0 \end{equation}$
Entonces, el polinomio característico es
$ \begin{equation} det(A-\lambda I_2) = 0 \iff \lambda^2 - tr(A)\lambda + det(A) \overset{!}{=} 0 \iff \lambda^2 - (\rho-n)\lambda + \frac{c^*f''(k^*)}{\epsilon_u(c^*)} \overset{!}{=} 0 \end{equation} $
Hasta aquí he llegado. El siguiente paso sería calcular los valores propios $_{1,2}$ y los vectores propios $V_1,~V_2$ . Nos dijeron que si $ tr(A) = _1 + _2 > 0 $ entonces el sistema es inestable. La solución general del sistema linealizado debería ser así
$ \begin{equation} \begin{bmatrix} k(t)\\c(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k^*\\ c^* \end{bmatrix} + \gamma_1 ~ e^{\lambda_1 t} ~V_1 + \gamma_2 ~ e^{\lambda_2 t} ~ V_2 \end{equation}$
(cf. Simon, Blume), donde $\lambda_1,~ \lambda_2$ son los coeficientes de las raíces $_1,~ _2$ . También nos dijeron lo siguiente:
"Recordemos que el objetivo era resolver el sistema de las dos ecuaciones diferenciales en la vecindad del estado estacionario. Si los valores propios de $A$ son menores que uno en valores absolutos, el sistema es (globalmente) estable asintóticamente. Si, por el contrario por el contrario, todos los valores propios de $A$ son mayores que uno en valores absolutos, el sistema puede considerarse "completamente inestable", ya que todas las trayectorias explotan cuando parten de una posición inicial distinta a la del propio estado estacionario. El caso interesante se da cuando, como aquí, algunos de los valores propios de $A$ son mayores y algunos son menores que uno en valores absolutos. Para que el sistema sea sea estable en el camino de la silla de montar, requerimos $|_1| > 1$ y $|_2| < 1$ . Eso significa que existen existen trayectorias de solución que, comenzando arbitrariamente cerca del estado estacionario, obtienen se alejan arbitrariamente de él a medida que el tiempo llega al infinito. Sin embargo, existe una región tal que cualquier trayectoria que comience en la región (o que se encuentre en esta región en en algún momento) converge al estado estacionario. En ese caso, la trayectoria permanece dentro de esta región mientras converge al estado estacionario.
En caso de $|_2| < 1$ el camino de la silla de montar corresponderá al vector propio $V_2$ asociado a $_2$ , lo que nos permite ignorar la trayectoria inestable correspondiente al vector propio asociado a $_1$ . Esto significa que el coeficiente $_1$ de root explosiva (inestable), es decir $|_1| > 1$ debe ser ajustado a $_1 = 0$ ."
Para terminar la prueba, necesito encontrar la solución del sistema linealizado (simplificado).
