Rendimiento compuesto a lo largo de $n$ días

Question

He calculado los rendimientos diarios de una determinada acción. Pueden ser descritos analíticamente por una prueba de Student de 3 parámetros $t$ distribución cuyo función de densidad es

$$f(x)=\frac{\left(\frac{\nu}{\nu+\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\right)^{\frac{\nu+1}{2}}}{\sqrt{\nu}\sigma B\left(\frac\nu2,\frac12\right)},$$ donde $\mu=0.11$ , $\sigma=0.54$ y $\nu=1.52$ .

Con este punto de partida: ¿cómo puedo calcular la función de distribución de los rendimientos (compuestos) a lo largo de $n$ ¿días?

Answer 1

Además del muy útil comentario + enlace de @Kevin, si necesitas calcular la distribución / densidad de la suma de (cualquier) variable aleatoria continua independiente, por ejemplo, la suma de Student t vars distribuidos, o alguna otra mezcla, puede ir de dos maneras:

Opción A: Simulación

Basta con simular la distribución del objetivo $N$ número de veces. A partir de ahí se pueden estimar momentos, cuantiles, etc.

N.B: Asegúrese de que $N$ es suficientemente grande, por ejemplo, mediante un nuevo muestreo y la comprobación de la estanqueidad de sus estimadores. Para las distribuciones cuyos momentos no están definidos, (por ejemplo, con $d.o.f.\leq 4$ para un estudiante t distribución, si requiere los cuatro primeros momentos) podría necesitar muchas simulaciones para obtener resultados suficientes.

Opción B: Integración numérica de funciones características

Sabemos que la función característica de una variable aleatoria,

$$ \varphi_X(t)\equiv \int f(x)e^{itx}\mathrm{d}x $$

existe siempre y que la función característica de la suma de variables aleatorias independientes es la producto de sus funciones características individuales . Finalmente, a través de Gil-Pelaez o la relación de inversión,

$$ f(x)=\frac{1}{2\pi}\int e^{-itx}\phi_X(t)\mathrm{d}t, $$

o más exactamente a través de un aproximación numérica de esta inversión, siempre podemos intentar recuperar la distribución o densidad de nuestra variable convoluta.

N.B: La inversión numérica puede resultar bastante engorrosa si su distribución no es lo suficientemente suave Por ejemplo, si tiene una fuerte "curvatura" en alguna parte, lo que implica que se necesita una región de integración muy grande para acumular todas las contribuciones de frecuencia del material.

¿HTH?