Valor de continuidad frente a utilidad en la fijación de precios de los activos

Question

¿Hay alguna diferencia entre el valor de continuación ( $V_t$ ) y la utilidad ( $U_t$ ) excepto por un posible escalamiento / diferencia de unidades? Mi pregunta se refiere a la literatura sobre la fijación de precios de los activos basada en el consumo.

En las configuraciones estándar de utilidad de energía aditiva en el tiempo, la gente parece hablar sólo de utilidad (por ejemplo $U_t=u(C_t)+\beta E_t[u(C_{t+1}]$ ). En entornos de utilidad recursiva / Epstein-Zin-Weil, la gente suele referirse a un valor de continuación (por ejemplo $V_t=((1-\beta)C_t^{1-\rho}+\beta (\mathcal{R}_t(V_{t+1}))^{1-\rho})^{1/(1-\rho)}$ ).

Me parece que ambos son bastante similares. La única referencia que he podido encontrar sobre el tema es el libro de valoración de activos de Back (2010), en el que (definiciones intuitivas) la utilidad parece ser una medida de utilidad en "unidades de utilidad" mientras que el valor de continuación parece ser una medida de utilidad en "unidades de bienes de consumo", y ambas están relacionadas a través de $U_t=u(V_t)=\frac{V_t^{1-\gamma}}{1-\gamma}$ .

(Nota: Back habla confusamente de una utilidad de continuación y utiliza una notación diferente, la que se publica aquí es heredada de las referencias estándar. Además, usted puede encontrar su libro con este enlace .)

Answer 1

El término "valor de continuación" suele utilizarse para referirse a una agregación de la utilidad en períodos futuros. En el caso de $U_t = u(C_t) + \beta E_t[u(C_{t+1})]$ , $u_t$ es el flujo de utilidad por periodo y $U_t$ es un conjunto de $u_t$ en todos los periodos de tiempo $t$ y $t+1$ . La cantidad $\beta E_t[u(C_{t+1})]$ es el valor de continuación descontado esperado y está en las mismas unidades que $u(C_t)$ .

La utilidad recursiva funciona de forma similar. La diferencia es que la utilidad a lo largo de varios periodos de tiempo no puede agregarse fácilmente. En el caso de la utilidad esperada, se agrega utilizando una suma ponderada de expectativas. Para ver esto, voy a mostrar cómo se puede escribir una función de utilidad esperada en forma recursiva. Esto debería hacer que el valor de continuación utilizado en las discusiones de la utilidad recursiva sea más fácil de entender.

De nuevo, dejemos que $u_t$ sea el flujo de utilidad por periodo. Supongamos que $U_t$ es un conjunto de $u_t$ a lo largo de todos los periodos de tiempo desde el tiempo $t$ en el futuro. A veces $u_t$ se denomina "función de utilidad por periodo". Un agente económico que toma decisiones en el tiempo $t$ maximiza $U_t$ , donde $u_\tau$ para $\tau = t, t+1, t+2,...$ son simplemente los componentes que conforman $U_t$ . Consideremos el caso de la utilidad CRRA: $$ U_0 \equiv E_0 \sum_{t=0}^\infty \beta^t \frac{C_t^{1-\gamma}}{1-\gamma}. $$ Dejemos que $u_t = \frac{C_t^{1-\gamma}}{1-\gamma}$ y que $$ U_t = E_t \sum_{\tau=t}^\infty \beta^{\tau-t} \frac{C_\tau^{1-\gamma}}{1-\gamma}. $$ Entonces, $$ U_t = E_t \sum_{\tau=t}^\infty \beta^{\tau-t} u_\tau $$ y aquí podemos representar la utilidad de forma recursiva, $$ U_t = u_t + \beta U_{t+1}. $$ En el caso de utilidad esperada de CRRA, $U_t$ es simplemente una suma ponderada de la utilidad futura por período. La utilidad de Epstein-Zin es un caso en el que $U_t$ es un agregado de la utilidad futura por período, pero no puede expresarse como una simple suma ponderada. Más bien, $U_t=((1-\beta)C_t^{1-\rho}+\beta (\mathcal{R}_t(U_{t+1}))^{1-\rho})^{1/(1-\rho)}$ , donde $\mathcal R$ es un operador "equivalente a la certeza".

Answer 2

No puedo hablar del uso de Back (no puedo acceder al libro a través del enlace), aunque en general, creo que la "función de utilidad" se refiere al significado estándar del término (la función última que los agentes intentan maximizar), mientras que "valor de continuación" se refiere a la Ecuación de Bellman resuelta para el siguiente periodo.

Un ejemplo más abstracto de la aparición conjunta de la "función de utilidad" y la "función de valor" se encuentra en este conjunto de notas de Peter Ireland en la sección 3 (ejemplo 2) una vez resueltas las condiciones de optimalidad.