Elasticidad laboral infinita con elasticidad de Frisch

Question

Se trata de un documento de Hansen (1985).
Supongamos que el hogar tiene una función de utilidad $u(c)+v(1-h)$ y pueden elegir la probabilidad de trabajar( $h$ ) como $\alpha$ .
Hay un seguro $b_t$ dando $1$ unidad de bienes de consumo y el mercado de seguros está completo.
(Significa que el precio del seguro es $1-\alpha$ .)

Me he saltado el proceso de derivación detallado y el resultado de esta economía muestra que todos los hogares tienen el mismo consumo( $c_1=c_2$ ) y el capital ( $k_1'=k_2'$ ).
Significa que las constantes presupuestarias
(i) $c_1+k_1'+(1-\delta)k_0 =wh+rk_0 -(1-\alpha)b$ con prob. $\alpha$
(ii) $c_2+k_2'+(1-\delta)k_0 =b+rk_0 -(1-\alpha)b$ con prob. $1-\alpha$
puede reducirse como: $c+k'-(1-\delta)k_0 =\alpha wh+rk_0$

Problema de maximización en forma de ecuación de Bellman:
$V(k)=u(c)+\alpha v(1-h)+(1-\alpha)v(1)+\beta EV(k')$
s.t $c+k'-(1-\delta)k_0 =\alpha wh+rk_0$
Para simplificar, normalice $v(1)=0$ .

Quiero demostrar que la oferta laboral agregada tiene una elasticidad infinita utilizando la elasticidad de Frisch.
¿Cómo se obtiene la elasticidad de Frisch en esta economía?

Answer 1

Intentaré traducir el argumento de El documento original de Hansen (1985)

Dejemos que $h_t = \alpha_t h$ sea la oferta de trabajo agregada en $t$ .

En primer lugar, defina el ocio agregado $\ell_t = 1 - h_t = 1 - \alpha_t h$ que da: $$ \alpha_t = \frac{1 - \ell_t}{h} $$ Entonces la función de utilidad instantánea se puede escribir como $$ u(c_t) + \alpha_t (v(1-h)-v(1)) + v(1) = u(c_t) + v(1) + \frac{v(1-h)}{h} - \left[\frac{v(1-h)}{h}\right]\ell_t $$ Aquí la variable de elección $\alpha_t$ cambió a $\ell_t$ . Vemos que esta función es lineal en $\ell_t$ que da una elasticidad de sustitución infinita entre el ocio en diferentes períodos.

No soy una persona de macro, así que podría estar totalmente equivocado aquí. Sin embargo, para otra forma de ver la cuestión es mirar su ecuación de Bellman: $$ V(k_t) = \max_{c_t, \alpha_t, b_t} u(c_t) + \alpha_t v(1-h) + (1-\alpha_t) v(1) + \beta\left[\alpha_t V(k_{t+1}^g) + (1-\alpha_t) V(k_{t+1}^b)\right] $$ donde: $$ \begin{align*} &k_{t+1}^g = (1-\delta) k_t + w h - (1-\alpha)b_t - c_t\\ &k_{t+1}^b = (1-\delta) k_t + b_t - (1-\alpha)b_t - c_t \end{align*} $$ Aquí asumo que la prima se basa en el riesgo de mercado ( $\alpha$ ) y no en el riesgo individual $\alpha_t$ Así que $\alpha$ se fija para el individuo que está optimizando esta ecuación de Bellman.

Demostremos que "en general" la oferta agregada de pescado será $h_t = h$ o $h_t = 0$ excepto para un valor particular de $w$ . Así que vamos con la suposición de que $\alpha \in (0,1)$ . Supongamos que ya hemos resuelto los valores óptimos del consumo y del seguro.

Para encontrar el valor óptimo de $\alpha_t$ tomar la condición de primer orden de $V(k_t)$ con respecto a $\alpha_t$ : $$ v(1-h) - v(1) + \beta \left[V(k_{t+1}^g)- V(k_{t+1}^b)\right] = 0 $$ Como $k_{t+1}^g$ está aumentando en $w$ y el resto es independiente de $w$ puede haber como máximo un valor de $w$ para los que se cumple esta condición.

Si $w$ es mayor que este valor, será óptimo establecer $\alpha_t = 1$ por lo que la demanda agregada saltará a $h_t = \alpha_t h = h$ . (Aquí estoy haciendo un juego de manos, ya que los valores óptimos de $c$ y $b$ también puede depender, por supuesto, de $w$ ).

Si $w$ es menor que este valor, será óptimo establecer $\alpha_t = 0$ por lo que la demanda agregada saltará a $h_t = \alpha_t h = 0$ .

Esto significa que la elasticidad agregada es infinita.