Probar qué forma funcional explica mejor los datos

Question

He intentado preguntar esto en Math Stack Exchange. No obtuve respuesta después de una semana, así que lo intento aquí.

Últimamente tuve esta pregunta en un examen y no estaba seguro de cómo responderla. Ahora el examen ya está hecho y no puedo volver atrás, pero está en mi cabeza desde entonces y tengo mucha curiosidad por la respuesta.

Suponga que tiene un conjunto de datos, con variables:

$age$ : La edad de una persona

$age^2$ La edad a la potencia de 2

Y variables ficticias: $D45 = (age=45)$ , $D46 = (age=46)$ ... $D55 = (age=55)$ etc.

Y suponga que tiene dos modelos, donde

$$ y = \beta_1 x_1 + \beta_2 age + \beta_3 age^2 $$ y $$ y = \beta_1 x_1 + \beta_2 D_{45} + \beta_3 D_{46} ... \beta_{22} D_{65} $$

¿Cómo probarían ustedes cuál de las formas funcionales de los dos modelos explica mejor los datos?

Supongo que vamos a probar $\beta_i = 0$ para ambos modelos. Pero no estoy seguro.

¿Qué habrían hecho ustedes en esta situación?

Saludos cordiales

Answer 1

Fíjate en eso: $$ y = \beta_1 x_1 + \beta_2 age + \beta_3 age^2 $$ es un modelo más restrictivo que: $$ y = \delta_1 x_1 + \delta_2 D_{45} + \delta_3 D_{46} + \ldots $$ donde tienes un maniquí para cada nivel de edad.

Para ver esto, tomemos por ejemplo el caso en que la edad es $a$ . Entonces la primera regresión da: $$ y = \beta_1 x_1 + \beta_2 \times a + \beta_3 \times (a)^2 $$ La segunda regresión da: $$ y = \delta_1 x_1 + \delta_a. $$ donde $\delta_a$ es el coeficiente de la variable ficticia $D_a$ .

Así que para $\delta_1 = \beta_1$ y $\delta_a = \beta_2 \times a + \beta_3 \times (a)^2$ los dos son iguales.

Esto significa que la primera regresión es un caso especial de la segunda donde especificamos $\delta_1 = \beta_1$ y $\delta_a = \beta_2 a + \beta_3 a^2$ .

Dado que la primera regresión es una versión restrictiva de la segunda, en principio, se podría comprobar el ajuste del primer modelo frente al segundo utilizando algo así como una prueba de razón de verosimilitudes wiki .