Por qué esta integral estocástica se calcula con la integral de Riemann

Question

Esta imagen es del libro de texto de Neftci, 'An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives, Third Edition'

Lo que me incomoda es la ecuación [10.61] en la imagen de arriba. En esta ecuación, $sW_s$ en el $d[sW_s]$ es un término definitivamente estocástico.

Así que creo que no es riguroso aplicar la integral de Riemann en este término. Es decir, $^t_0dX = [X]^t_0 = t - 0... So ^t_0d[sW_s] = [sW_s]^t_0 = tW_t - 0*W_0. (because of W_0 = 0)$ esta relación fundamental no debe aplicarse, porque tiene término estocástico.

Pero en la imagen anterior, la ecuación [10.61] parece aplicar la propiedad integral de Riemann y no la propiedad integral de Ito.

Quiero saber la razón.

Gracias.

Answer 1

Para cualquier semi martingala $X$ (en particular para $X_t=W_t$ o para $X_t=t$ ) tenemos $$\tag{1} \int_0^t dX_s=X_t-X_0\,. $$ Es cierto que la integral de Ito utiliza el procedimiento de límite $$\tag{2} \int_0^tf(s)\,dX_s=\lim_{\max|t_i-t_{i-1}|\to 0}\sum_{i=1}^nf(t_{i-1})(X_{t_i}-X_{t_{i-1}}) $$ mediante el cual el integrante $f$ debe evaluarse en el extremo izquierdo del intervalo $[t_{i-1},t_{i}]\,.$ En cambio, en la integral de Riemann (o más generalmente la integral de Stieltjes) el integrando puede evaluarse en cualquier punto de ese intervalo.

Sin embargo, cuando el integrando es constante esta diferencia claramente no importa. En otras palabras, podemos interpretar (1) como una integral de Ito y una integral de Riemann-Stieltjes al mismo tiempo. Además, cuando en lugar de (2) se define $$ \int_0^tf(s)\circ\,dX_s=\lim_{\max|t_i-t_{i-1}|\to 0}\sum_{i=1}^n\frac{f(t_i)+f(t_{i-1})}{2}(X_{t_i}-X_{t_{i-1}}) $$ obtendrá el Stratonovich integral. Claramente, (1) puede interpretarse también como integral de Stratonovich.

En resumen: (1) es válida para todos los tipos conocidos de integrales.