En las matemáticas de los seguros, se suele modelar el subyacente de una póliza de seguros con un modelo de Black Scholes en un espacio de probabilidad filtrado $(\Omega,\mathbb{Q},\mathcal{F},\mathbb{F}=(\mathcal{F}_{t}))$ con $\mathbb{Q}$ que es la medida neutral de riesgo. Por ejemplo, ahora se quiere valorar un producto de dotación pura, es decir, a un tiempo fijo $T$ la comilla de la acción en cuestión $S(T)$ se paga si el asegurado está vivo en el momento $T$ si no, no hay pago. Además, estos productos suelen contener alguna garantía financiera adicional, es decir, un pago mínimo. Pero esto no es esencial para mis preguntas.
Por lo tanto, también hay que modelar la mortalidad. Para ello, se suele considerar $T_{x}$ la futura vida útil de un $x$ -años y conjuntos $\mathcal{G}_{t}:=\sigma(\mathbb{1}_{\{T_{x}\leq s \}}\vert s\leq t)$ que define la "filtración de seguros" $\mathbb{G}=(\mathcal{G}_{t})$ . Entonces se considera la filtración ampliada $\mathbb{H}=\mathbb{F}\vee\mathbb{G}$ y trabaja en el espacio filtrado $(\Omega,\mathbb{Q},\mathcal{F},\mathbb{H})$ . La probabilidad de supervivencia se define entonces como $p_{x+t}(t,T):=\mathbb{Q}(T_{x}>T\vert \mathcal{H}_{t})$ .
Desgraciadamente, nunca he encontrado un relato general bueno y formal al respecto. Muchas cosas parecen estar implícitamente asumidas. Mis preguntas:
- ¿Existen buenas referencias para este enfoque general de modelado?
- ¿Por qué la medida de riesgo neutro puede incluso extenderse al espacio ampliado y, en particular, utilizarse para medir la mortalidad?
- ¿O se necesitan condiciones especiales?
- Si partimos de la base de que la mortalidad es independiente de los mercados financieros, ¿necesitamos algo de esto de todos modos?
Muchas gracias por la ayuda.
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Quizá quieras echar un vistazo a la respuesta y los comentarios de @Quantuple a mi pregunta, Cambio del impacto de la medida en el valor del parámetro . Es un escenario diferente $-$ Modelo de prepago de la hipoteca en lugar de la mortalidad $-$ pero la conclusión es que, siendo la mortalidad un proceso estocástico exógeno a su economía, el cambio de medidas no afecta a la distribución de su proceso de mortalidad. Tal vez alguien más pueda dar más información.
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Por otra parte, si incluye un derivado vinculado a un seguro en su modelo $-$ Por ejemplo un swap de mortalidad o longevidad $-$ entonces debe asegurarse de que su producto de seguro es una martingala bajo la medida de precios pertinente que está utilizando y podría tener que modificar la dinámica de $T_x$ .