EDITADO con las ideas del comentario de abajo.
Consideremos un decisor que tiene que elegir una acción entre $\mathcal{Y}\equiv \{1,2,...,L\}$ . La recompensa de elegir la acción $y\in \mathcal{Y}$ depende del estado del mundo, $V$ , con apoyo $\mathcal{V}$ . En concreto, la elección de la acción $y\in \mathcal{Y}$ lleva el pago $u(y,v)$ , donde $u:\mathcal{Y}\times \mathcal{V}\rightarrow \mathbb{R}$ .
Supongamos que el responsable de la toma de decisiones tiene información completa sobre la realización de $V$ atraído por la naturaleza.
Una estrategia (mixta) de este problema de elección es un núcleo de probabilidad, $\mathcal{P}_{Y|V}\equiv \{P_{Y}(\cdot| v)\in \Delta(\mathcal{Y}): v\in \mathcal{V}\}$ recogiendo las distribuciones de probabilidad de $Y$ condicionada a todas las realizaciones $v$ de $V$ .
Por lo tanto, $\mathcal{P}_{Y|V}$ es una estrategia óptima del problema de elección anterior si $\forall v\in \mathcal{V}$ tal que $P_{Y}(y|v)>0$ y $\forall \tilde{y}\neq y$ $$ \begin{aligned} u(y, v) \geq u(\tilde{y},v). \\ \end{aligned} $$
Dejemos que $\mathcal{Q}^*$ sea la colección de todas las estrategias óptimas del problema de elección anterior, es decir $$ \mathcal{Q}^*\equiv \Big\{\mathcal{P}_{Y|V}: \forall v\in \mathcal{V}, \forall y \in \mathcal{Y}\\ \hspace{6cm}\underbrace{P_{Y}(y|v)>0 \Rightarrow u(y, v) \geq u(\tilde{y},v)\text{ } \forall \tilde{y}\neq y}_{\text{This is not a linear constraint because of the form "IF ... THEN ..."}}\Big\} $$
Pregunta 1) La definición de $\mathcal{Q}^*$ que se acaba de dar parece resaltar que $\mathcal{Q}^*$ no es un conjunto convexo. Esto se debe a que está definido por una restricción del tipo "SI ... THEN ...", que no es lineal.
¿Es correcto este comentario?
Pregunta 2) Considere una función de pago $u(1,v)=u(L,v)>u(y,v)$ $\forall y \neq 1,L$ y $\forall v \in \mathcal{V}$ . Considere las siguientes estrategias $$ 1) \mathcal{P}_{Y|V}\text{ s.t. } P_{Y}(1|v)=1 \text{ and }P_{Y}(y|v)=0 \text{ }\forall y\neq 1, \forall v \in \mathcal{V} $$ $$ 2) \tilde{\mathcal{P}}_{Y|V}\text{ s.t. } \tilde{P}_{Y}(L|v)=1 \text{ and }\tilde{P}_{Y}(y|v)=0 \text{ }\forall y\neq L, \forall v \in \mathcal{V} $$ $$ 3) \mathcal{P}^*_{Y|V;\alpha}\text{ s.t. } P^*_{Y}(1|v;\alpha)=\alpha P_Y(1|v) \text{, } P^*_{Y}(L|v;\alpha)=(1-\alpha) \tilde{P}_Y(L|v) \text{, and }P^*_{Y}(y|v;\alpha)=0 \text{ }\forall y\neq 1,L, \forall v \in \mathcal{V}, \forall \alpha \in (0,1) $$ Creo que el conjunto $$ \mathcal{B}\equiv \{\mathcal{P}_{Y|V}, \tilde{\mathcal{P}}_{Y|V}, \mathcal{P}^*_{Y|V;\alpha} \text{ }\forall \alpha\in (0,1)\} $$ es convexo. De hecho, me parece que $\mathcal{B}$ es el casco convexo de $\{\mathcal{P}_{Y|V}, \tilde{\mathcal{P}}_{Y|V}\}$ .
¿Correcto?
¿Cuál es la relación entre $\mathcal{Q}^*$ y $\mathcal{B}$ ?
Creo que $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{Q}^*$ . Esto se debe a que para cada elemento de $\mathcal{B}$ la condición "IF ... THEN ..." que define la condición $ \mathcal{Q}^*$ se satisface.
Hace $\mathcal{Q}^*\subseteq \mathcal{B}$ ¿también? Si mi afirmación es la pregunta 1) es correcta, entonces debería ser $\mathcal{Q}^*\supset \mathcal{B}$ porque de lo contrario $\mathcal{Q}^*$ sería convexo. Pero aquí me pierdo: ¿qué elemento de $\mathcal{Q}^*$ no pertenece a $\mathcal{B}$ ?
