Hallar la elasticidad de una función con respecto a una variable a partir del logaritmo

Question

Intenté hacer esta pregunta en Math Stackexchange, pero no obtuve respuesta. Lo intentaré aquí.

Estoy un poco confundido en cuanto a cómo ver la elasticidad de una función con respecto a una variable de logaritmo. Digamos que tenemos la siguiente función:

$$y^* =\beta^{\frac{1}{1-a}}(\frac{s}{n+\delta})^{\frac{a}{1-a}} \leftrightarrow$$ $$ln y^* = \frac{1}{1-a} * ln (\beta) + \frac{a}{1-a}*ln(\frac{s}{n+\delta})$$

¿Cómo se ve desde aquí cuál es la elasticidad de y con respecto a $ n + \delta $ ¿es?

Saludos cordiales

Editar:

La elasticidad se define como "En economía, la elasticidad mide el cambio porcentual de una variable económica en respuesta a un cambio en otra" vía Wikipedia. Para hallar la elasticidad de y con respecto a $n+\delta$ puede utilizar la siguiente fórmula:

$$ \frac{\partial y}{\partial (n+\delta)} * \frac{n+\delta}{y} = -\frac{a}{1-a} $$

Pero mis libros sugieren que debería ser capaz de detectar esto desde el $lny*$ ecuación. ¿Alguien tiene idea de cómo?

Answer 1

Elasticidad de cualquier función diferenciable $f(x)$ wrt $x$ por definición es:

$$\epsilon = \frac{df(x)}{dx}\frac{x}{f(x)}$$

Para un tipo particular de función dada por:

$$f(x) = Ax^e$$

$$\epsilon = \frac{df(x)}{dx}\frac{x}{f(x)} = e $$

Además, para este tipo de función, si se toma un logaritmo de ambos lados se encontrará que:

$$\ln f(x) = \ln A + e \ln x$$

donde el coeficiente antes de la variable registrada le da la elasticidad.

En tu caso, si tomas el registro de lo siguiente:

$$y^* =\beta^{\frac{1}{1-a}}(\frac{s}{n+\delta})^{\frac{a}{1-a}}$$

obtendrás:

$$\ln y^* = \frac{1}{1-a} \ln (\beta) + \frac{a}{1-a}\ln s - \frac{a}{1-a} \ln (n+\delta)$$

donde $\frac{1}{1-a}$ , $\frac{a}{1-a}$ y $- \frac{a}{1-a}$ son todas las elasticidades de la función original $y$ wrt $\beta$ , $s$ y $n+\delta$ respectivamente.

Puedes comprobarlo calculando explícitamente:

$$\epsilon_{\beta y} = \frac{\partial y}{\partial \beta}\frac{\beta}{y} = \frac{1}{1-a} $$

$$\epsilon_{s y} = \frac{\partial y}{\partial s}\frac{s}{y} = \frac{a}{1-a} $$

$$\epsilon_{(n-\delta); y} = \frac{\partial y}{\partial (n-\delta)}\frac{(n-\delta)}{y} = -\frac{a}{1-a} $$