Justificación de la sustitución de los "diferenciales de Itô"

Question

Estoy leyendo el libro de Shreve Cálculo estocástico para las finanzas, volumen II . En él, utiliza la notación diferencial estocástica. Por ejemplo, puede escribir

$$\mathrm{d}X(t) = \sigma(t)\mathrm{d}W(t)+\alpha(t)\mathrm{d}t\tag{ 1}$$

significar (formalmente)

$$\int_{t=s_0}^{t=s_1}\mathrm{d}X(t) = \int_{t=s_0}^{t=s_1}\sigma(t)\mathrm{d}W(t)+\int_{t=s_0}^{t=s_1}\alpha(t)\mathrm{d}t\text{.}\tag{2}$$

Esto está bien y tiene sentido. El problema es que a menudo sustituye el LHS de $(1)$ para el lado derecho de $(1)$ en otras ecuaciones diferenciales estocásticas. Por ejemplo, dada la función $S(t)$ puede utilizar $(1)$ para justificar la igualdad

$$S(t) \mathrm{d}X(t) = S(t)\sigma(t)\mathrm{d}W(t)+S(t)\alpha(t)\mathrm{d}t\text{,}\tag{3}$$

lo que equivale a

$$\int_{t=s_0}^{t=s_1} S(t) \mathrm{d}X(t) = \int_{t=s_0}^{t=s_1} S(t)\sigma(t)\mathrm{d}W(t)+\int_{t=s_0}^{t=s_1} S(t)\alpha(t)\mathrm{d}t\text{.}\tag{4}$$

Este truco parece ser puramente simbólico. Intuitivamente, tiene sentido. Sin embargo, tengo problemas para demostrar que se puede hacer esta sustitución. ¿Hay alguna prueba de que se puede hacer este tipo de sustituciones (en este ejemplo o en general)?

Answer 1

No veo en qué parte del libro Shreve justifica (3) directamente desde (1). Pero casi seguro que se habría referido a la discretizado versiones de los "diferenciales". Es decir:

$$ X(t_{i+1})-X(t_{i}) \approx \sigma(t_i)(W(t_{i+1})-W(t_{i}))+\alpha(t_{i})(t_{i+1}-t_{i}) $$

implica $$ S(t_{i})(X(t_{i+1})-X(t_{i})) \approx S(t_{i})\sigma(t_i)(W(t_{i+1})-W(t_{i}))+S(t_{i})\alpha(t_i)(t_{i+1}-t_{i}). $$

Nos gustaría entonces tomar sumas y límites (necesarios en un mecanismo de integración) en ambos lados y justificar por qué una integral estocástica wrt a un integrador de procesos Ito puede ser definido como en (4), que es Definición 4.4.5 en el libro, dado después de Shreve ya había definido las integrales estocásticas en relación con $W(t)$ y $t$ integradores.