Subasta de primer precio con valores discretos

Question

Ejercicio 4.5 del libro de Vijay Krishna Teoría de la subasta :

Supongamos que el postor 1 siempre tiene valor $X_1=2$ , mientras que el valor del postor 2, $X_2$ tiene la misma probabilidad de ser $0$ o $2$ . Encuentre las estrategias de puja de equilibrio en una subasta de primer precio. (Nótese que como los valores son discretos, el equilibrio será en estrategias mixtas).

• No entiendo por qué al ser los valores discretos, el equilibrio será en estrategias mixtas. ¿Hay alguna regla/principio para esto?

• ¿Cómo se configura el problema? Como los equilibrios son en estrategias mixtas, puedo suponer que el jugador 1 puja $b_1,\ldots,b_k$ con probabilidades $p_1,\ldots,p_k$ respectivamente. Pero esto parece demasiado general para avanzar.

Answer 1

Las estrategias puras sugeridas no crean un equilibrio, porque si $X_2=X_1=2$ Hay un empate. Sea cual sea la regla de desempate empleada, uno de los jugadores querrá desviarse a $\beta_i=1+\epsilon$ para evitar el empate y ganar con seguridad. Si el desempate es siempre a favor del segundo jugador, el jugador 1 se desvía a $0+\epsilon$ .

Los valores discretos en este escenario sugieren un equilibrio de estrategia mixta (no degenerado), porque la probabilidad de un empate en las valoraciones es distinta de cero. Por eso, aquí falta el equilibrio de estrategia pura del caso continuo.

El caso más general de este problema está en Doni y Menicucci (2013) .

Answer 2

Cualquier equilibrio de Nash de estrategia pura es implícitamente un equilibrio de Nash de estrategia mixta. Dado que las valoraciones varían, es un buen indicador de que queremos considerar las estrategias mixtas. El hecho de que el problema nos diga esto es un indicador más fuerte, aunque estoy seguro de que no es la justificación axiomática que buscas. :-)

Considera al jugador $1$ . Contamos con jugadores $1$ de los beneficios esperados: $\mathbb{E}[\Pi_{1}(b)] = (2-b) Pr[b \geq \beta_{2}(v_{2})]$ , donde $b$ es jugador $1$ de la oferta, $\beta_{2}$ es jugador $2$ de la estrategia de licitación, y $v_{2}$ es jugador $2$ La valoración de la empresa. Podemos suponer $\beta_{2}(0) = 0$ (porque si $\beta_{2}(0) > 0$ , jugador $2$ puede mejorar esto disminuyendo su oferta). Dado que sólo estamos considerando dos valoraciones potenciales para el jugador $2$ podemos suponer que $\beta_{2}(v) = av$ para alguna constante $a \in \mathbb{R}_{++}$ . (Es decir, dados los dos puntos $(0, 0)$ y $(2, \beta_{2}(2))$ Sólo hay que trazar una línea entre ellos).

Observe que $Pr[b \geq av] = Pr[v \leq \frac{b}{a}] = \frac{b}{2a}$ con la última desigualdad ya que tenemos un 50-50 en la valoración del jugador $2$ .

Ahora, para un equilibrio de Nash, el jugador $1$ busca maximizar su valor esperado. Esto viene dado por el siguiente problema de optimización:

$$\max_{b} (2-b) \cdot (\frac{b}{2a})$$

Así se obtienen las condiciones de primer orden:

$\frac{1}{2a} \cdot (2 - 2b) = 0$ y obtenemos que $b = 1$ es nuestra única solución para el jugador $1$ . Esta respuesta debería ser razonablemente intuitiva.

Ahora jugador $2$ sólo gana si su valoración es $2$ . Así que los jugadores $\beta_{2}(2) = 1$ y $\beta_{2}(0) = 0$ .