¿Existe una forma de utilizar el álgebra matricial para añadir carteras a una matriz de covarianza de activos?

Question

Lo que quiero hacer es lo siguiente:

Digamos que tengo dos activos 1 y 2, y tengo una matriz de covarianza de 2x2.

Entonces tengo dos carteras A y B formadas por las ponderaciones de los activos 1 y 2.

Lo que me gustaría hacer es crear una matriz de covarianza 4x4 de los activos 1 y 2 y las carteras A y B.

Sé cómo calcular la covarianza de las carteras a los activos, me interesa si hay un 'atajo' para crear la matriz 4x4 usando álgebra matricial frente a construirla por partes.

Answer 1

Si sus dos activos son denotados por variables aleatorias $X_1$ , $X_2$ con una matriz de covarianza de 2x2 $\mathbf{Q}$ y las carteras:

$$ Z_1 = w_{11} X_1 + w_{12} X_2 $$ $$ Z_2 = w_{21} X_1 + w_{22} X_2 $$

Entonces,

$Cov(Z_1, X_1) = w_{11}Cov(X_1,X_1) + w_{12} Cov(X_2, X_1)$ etc.

En álgebra matricial:

$$ \mathbf{Z} = \mathbf{W} \mathbf{X}$$

La matriz de covarianza 4x4, es:

$$ \begin{bmatrix} \mathbf{Q} & \mathbf{QW^T} \\ \mathbf{WQ} & \mathbf{WQW^T} \\ \end{bmatrix} $$

Donde W es la matriz de identidad puedes comprobar que esto se reduce a tu intuición.