La composición continua en la práctica

Question

Una explicación común para el constante matemática e (2,71828...) es que es el factor por el que una inversión crecería a un tipo de interés del 100% durante un periodo si se compuesto continuamente .

En otras palabras, si se invirtiera 1 millón de dólares durante un año a una tasa del 100%, al cabo de un año, el saldo arrojaría unos 2,71 M$ (o e M$)

Sin embargo, no es un caso que haya visto nunca. A menudo vemos la composición mensual, a veces diaria, pero nunca he visto composición continua .

¿Existe la composición continua en la práctica? ¿Forma parte alguna vez de la oferta de un producto financiero? Si es así, ¿en qué casos podría utilizarse?

Answer 1

Es poco probable que en la práctica se utilice la capitalización continua con un tipo de interés del 100%. De forma más general, si el tipo de interés es del x% anual y los intereses se componen n veces durante el año (de forma que al final de cada subintervalo el importe se incrementa en un factor de (1 + (x/100)/n) ), entonces el importe ha aumentado a lo largo del año en un factor de

(1 + (x/100)/n)^n que es aproximadamente e^(x/100) = 1 + (x/100) + (x/100)^2/2 + (x/100)^3/6 + .... cuando n es grande.

Matemáticamente, e^(x/100) es el valor límite de (1+(x/100)/n)^n cuando n tiende al infinito. Heurísticamente, (1 + (x/100)/n)^n se acerca cada vez más a e^(x/100) a medida que n se hace más grande más grande (de la capitalización trimestral a la mensual, a la diaria y a la horaria ....).

Así pues, demos la vuelta al problema. Si el porcentaje anual rendimiento (no es lo mismo que la TAE) se especifica como y% anual, entonces dejemos que x sea la solución de la ecuación

e^(x/100) - 1 = (y/100)

lo que da x = 100 log_e (1 + y/100)% como tipo que se cotizará como la TAE para la capitalización continua, mientras que la TAE para la capitalización mensual mensual se obtendría con la solución de

(1 + (x/100)/12)^12 = 1 + y/100

lo que da x = 12 veces 100 veces root 12 de (1 + y/100) % como TAE.

A modo de comparación, una tasa de rendimiento anual del 5% anual corresponde a un tipo de interés cotizado (TAE) del 4,88894...% anual compuesto mensualmente y del 4,8790...% anual anual compuesto de forma continua. La capitalización semanal y diaria semanal y diaria daría lugar a comillas intermedias, pero como puede ver, para un porcentaje de rendimiento anual dado, la capitalización continua realmente no la TAE no es significativamente menor que la más común de las más común que se utiliza para las hipotecas, los préstamos para automóviles y y similares.

Answer 2

Estos son algunos cálculos para una inversión que produce un valor final de $ e million ($ 2.718.282) a partir de un valor inicial de 1 millón de dólares.

El Rendimiento logarítmico o de capitalización continua se da como:-

Vf = 2,718,282
Vi = 1,000,000
rlog = ln(Vf/Vi) = 1.0 = 100 %

Se trata de un rendimiento logarítmico, o rendimiento nominal (compuesto continuamente) del 100%.

El tasa anual efectiva se puede calcular mediante:-

donde i es el tipo nominal logarítmico o de composición continua.

i = rlog = 1.0 = 100%
r = e^i - 1 = 1.718282 = 171.8282 %

Una rentabilidad anual efectiva del 171,8282% produce un valor final de e millones de dólares.

Por supuesto, el rendimiento efectivo también puede calcularse como:

r = Vf/Vi - 1 = 1.718282 = 171.8282 %

Considerando ahora los rendimientos periódicos mensuales

El tasa anual efectiva calculado a partir de un rendimiento nominal compuesto periódicamente es:

donde n es el número de períodos de capitalización.

Reordenando esta fórmula, y utilizando la tasa anual efectiva calculada anteriormente (que produjo e millones de dólares), el tipo nominal compuesto mensualmente se calcula:

r = 1.718282 = 171.8282 %
n = 12
i = n*((r + 1)^(1/n) - 1) = 1.0428486 = 104.28486 %

Obsérvese la diferencia con el 100% calculado para el tipo nominal de capitalización continua. Como n aumenta la tasa nominal periódica se acerca a la tasa nominal compuesta continuamente, como lo demuestra el fórmula límite :

Por ejemplo, el tipo nominal compuesto diariamente (con n = 365 ) es el 100,137%, que está algo más cerca del 100% que el tipo nominal compuesto mensualmente.

A partir del tipo nominal anual compuesto mensualmente, se puede hallar el tipo compuesto mensual:

m = i/n = 1.0428486/12 = 0.08690405 = 8.690405 %

Comprobación mediante la composición durante 12 meses: (m + 1)^n - 1 = 1.718282

La tasa de capitalización mensual también puede calcularse directamente a partir de la tasa logarítmica o la tasa nominal anual de capitalización continua:

i = rlog = 1.0 = 100 %
n = 12
m = e^(i/n) - 1 = 8.690405 %