Ecuación de Black-Scholes Forma variacional / débil

Question

Tengo dificultades para derivar la formulación débil de la ecuación de Black-Scholes.

Lo he multiplicado con una función de prueba phi e integrado sobre Omega. Pero los resultados en internet sugieren que se utiliza la integración por partes en la segunda integral, y entonces se saltan algunos cálculos, y no obtengo el mismo resultado que el resto del mundo aparentemente.

Observación: Es una ecuación diferencial parcial parabólica hacia atrás.

Editar: Esto es lo que tengo hasta ahora;

Ecuación de Black-Scholes:

$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS \frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0$

Forma variacional / débil:

$\int_\Omega \left(\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS \frac{\partial V}{\partial S} - rV \right)\phi dx$

< = >

(**) $\int_\Omega \frac{\partial V}{\partial t} \phi dx + \int_\Omega \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \phi dx - \int_\Omega rS \frac{\partial V}{\partial S} \phi dx- \int_\Omega rV \phi dx$

Luego he encontrado fuentes que dicen que por integración por partes en la segunda integral de la ecuación anterior, obtendremos lo siguiente:

(*) $\int_\Omega \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2}{\partial S^2} \phi dx = -\int_\Omega \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial V}{\partial S} \frac{\partial \phi}{\partial S} dx - \int_\Omega \sigma^2 S \frac{\partial V}{ \partial S} \phi dx$

Eso simplemente no lo entiendo. Si utilizo la integración parcial en el lado derecho de la ecuación anterior obtengo lo siguiente:

$\int_\Omega \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \phi dx = \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \left(\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \frac{\partial \phi}{\partial S} - \int_\Omega \frac{\partial V}{\partial S} \frac{\partial \phi}{\partial S} dx\right)$

Pregunta 1: ¿Qué más ocurre en (*) además de las integraciones por partes?

Considerando de nuevo (*), podemos sustituir el lado izquierdo en (**):

$\int_\Omega \frac{\partial V}{\partial t} \phi dx -\int_\Omega \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial V}{\partial S} \frac{\partial \phi}{\partial S} dx - \int_\Omega \sigma^2 S \frac{\partial V}{\partial S} \phi dx + \int_\Omega rS \frac{\partial V}{\partial S} - rV \phi dx$

Reduciendo:

(***) $\int_\Omega \frac{\partial V}{\partial t} \phi dx -\int_\Omega \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial V}{\partial S}\frac{\partial \phi}{\partial S} dx - \int_\Omega (\sigma^2-r) S \frac{\partial V}{\partial S} \phi dx - \int_\Omega rS \frac{\partial V}{\partial S} - rV \phi dx$

pregunta 2:

¿Es la ecuación (***) la forma variacional correcta de la ecuación de Black-Scholes? Lo pregunto porque he encontrado varias fuentes que dan diferentes formas variacionales después de aplicar integraciones por partes (en ninguna de ellas soy capaz de publicar ya que termino en una situación como la anterior, donde me falta un paso en la integración por partes).

Después cambiaría el signo sustituyendo t por tau=T-t, y obtendría la forma variacional de la ecuación parabólica hacia delante en el tiempo.

Gracias de antemano por sus sugerencias, y por la corrección ortográfica.

Answer 1

La forma en que se plantea la pregunta muestra una falta de comprensión quizás de cómo formular las ecuaciones?

En primer lugar, las ecuaciones no son legibles, probablemente por eso nadie ha respondido todavía.

$\int_\Omega \left(\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS \frac{\partial V}{\partial S} - rV \right)\phi dx$

debe ser sustituido por:

$\int (\partial_t V + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \partial^2_{S^2} V + rS \partial_S V - rV ) \cdot \phi$

o incluso mejor:

$$\left ( \partial_t V + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \partial^2_{S^2} V + rS \partial_S V - rV, \phi \right )_{L^2}$$

Hay términos que faltan en las ecuaciones, ¿cuáles son las variables? $x$ por ejemplo

Entonces no hay lógica matemática, se pasa de los valores matemáticos (como he escrito arriba o su $(**)$ ) a ecuaciones (como $(*)$ ), luego volver a los valores justos... Se habla de forma variacional / débil para las ecuaciones. En otras palabras, en la mayoría de las ecuaciones se pierde un $=0$ .

Por estas razones, no quiero seguir con las ecuaciones que escribiste porque podrías haber querido decir otra cosa que lo que escribiste. Por otro lado, he aquí algunas reflexiones con el fin de resolver algunos de los problemas a los que se enfrentan algunas personas:

• ¿Qué significa la formulación débil? Nunca mencionaste la derivada débil aunque es exactamente de lo que se trata.
• Pregúntese dónde toma $\phi$ En qué espacio. Si se toma directamente en un espacio de Sobolev, entonces no es necesario utilizar ninguna densidad, pero lo más probable es que se tome en $C_0^1$ que es denso bajo algunas normas en su espacio de Sobolev. Así que es algo que hay que comprobar.
• Utilizando la densidad $C_0^1$ en su espacio más grande, probablemente tendrá que demostrar algunas propiedades de linealidad y continuidad sobre sus operadores.
• Quizás antes de escribir la forma débil, transforme su problema en un problema clásico de EDP parabólica como quería hacer al final (cambie el orden de las operaciones). El problema aquí que usted está enfrentando (aunque si usted entiende lo que los espacios $\phi$ se toma, no es un problema), es porque sus parámetros no son constantes.

Si alguien que pase por aquí quiere más detalles sobre alguna cosa, que pregunte en un comentario :) Pero toda la derivación es tediosa de escribir desde cero mientras que hay muy buenos libros al respecto (yo me enteré a través del excelente https://www.springer.com/de/book/9783642354007 )