Estática comparativa cuando aumenta el precio de un insumo

Question

Supongamos un modelo muy básico de maximización de beneficios de las empresas en el que su producción depende del trabajo y del capital: $$ Y=f\left(K,L\right)=K^{\alpha}L^{1-\alpha} $$ Su objetivo es maximizar los beneficios, $$ \pi=K^{\alpha}L^{1-\alpha}-wL-rK $$ donde $w$ y $r$ se dan como el precio del trabajo y del capital, respectivamente. El dual de este problema puede escribirse como la minimización de los costes totales con la condición de alcanzar un determinado nivel de producción, $\bar{Y}$ : $$ \text{min}wL+rK $$ con sujeción a: $$ Y\leq\bar{Y} $$ Aquí resolvemos este problema en dos etapas:

1. Determinar el nivel de producción que maximiza el beneficio (dados los precios)
2. En función del nivel de producción, elija $L$ y $K$ de manera óptima,

Obtenemos $L^{*}$ y $K^{*}$ utilizando métodos de Lagrange. Mi pregunta es la siguiente: si digamos $r$ aumentaran a partir de estos valores de equilibrio, ¿qué podemos definitivamente ¿dice?

Sabemos que si esto llegara a ocurriera, $K^{*}$ bajaría inmediatamente, y $L^{*}$ inmediatamente subiría (efecto de sustitución) ¿Puede ser que $L^{*}$ sube lo suficiente que $Y^{*}$ = $f(K^{*},L^{*})$ ¿sube? En otras palabras, ¿puede ser que si el coste de un solo insumo aumenta, la producción total pueda aumentar ? Si no es así, ¿es una consecuencia de la disminución de la productividad marginal de cada uno de estos insumos?

Answer 1

Considere el siguiente problema:

\begin{eqnarray*} \max_{y, k, l} & py - wl- rk \\ \text{s.t. } & y\leq k^\alpha l^{1-\alpha} \\ \text{and } & k, l, y \geq 0\end{eqnarray*}

donde $p >0$ , $w>0$ y $r>0$ se dan.

Así podemos resolver el problema de maximización de beneficios anterior en dos pasos:

En primer lugar, hay que resolver el problema de minimización de costes de la empresa:

\begin{eqnarray*} \min_{k, l} & wl + rk \\ \text{s.t. } & y\leq k^\alpha l^{1-\alpha} \\ \text{and } & k, l\geq 0\end{eqnarray*}

La solución a este problema se conoce como función de demanda de entrada condicional y satisface las dos condiciones siguientes:

$\text{MRTS} = \dfrac{\text{MP}_L}{\text{MP}_K} = \dfrac{(1-\alpha) k}{\alpha l} = \dfrac{w}{r}$

$y = k^\alpha l^{1-\alpha}$

Resolviendo estas dos ecuaciones obtenemos las demandas de entrada condicionales: \begin{eqnarray*} (l^c, k^c) (w, r, y) = \left( \left(\frac{(1-\alpha)r}{\alpha w}\right)^\alpha y, \left(\frac{\alpha w}{(1-\alpha) r}\right)^{1-\alpha} y \right) \end{eqnarray*}

De este modo, obtenemos el coste óptimo del suministro $y$ unidades de producción:

\begin{eqnarray*}C(w, r, y) = cy \end{eqnarray*} donde $\displaystyle c = w\left(\frac{(1-\alpha)r}{\alpha w}\right)^\alpha + r \left(\frac{\alpha w}{(1-\alpha) r}\right)^{1-\alpha}$

Ahora podemos utilizar esta función de costes para resolver el problema de maximización de beneficios que queríamos resolver. Este es el segundo paso: \begin{eqnarray*} \max_{y} & \ py - cy \\ \text{s.t. } & y \geq 0\end{eqnarray*}

y obtener el suministro como la solución: \begin{eqnarray*} y^s(w,p,r) \in \begin{cases} \{0\} & \text{if } p < c \\ \mathbb{R}_+ & \text{if } p = c \\ \emptyset & \text{if } p > c\end{cases} \end{eqnarray*}

Esto resuelve el problema.

Para obtener la demanda final de trabajo y la demanda de capital, podemos utilizar la oferta y simplemente introducirla en las demandas condicionales de insumos que encontramos anteriormente.

Si $r$ aumenta, entonces $c$ aumentos. Ahora considere estas dos posibilidades:

• Si $p$ se mantiene más grande que $c$ incluso después del aumento de $r$ entonces no hay solución al problema de optimización en ninguno de los dos casos.
• Si $p$ es menor que $c$ como resultado del aumento de $r$ pero inicialmente era más grande que $c$ Entonces, aunque la solución exista ahora, la demanda de insumos y la oferta de productos serán $0$ .

Asimismo, podemos analizar otras posibilidades.

Answer 2

Puedes utilizar el teorema de la envolvente para responder a esto.

tienes tu función objetivo donde r es el parámetro que cambia en los valores óptimos que te interesan:

$$\mathcal{L}(K,L,r) = f(K,L,r) - \lambda \left( g(K(r),L(r))-c \right) $$

A continuación, define la función de valor como

$$ V(K,L,r) = f(K^*(r),L^*(r),r)$$

entonces por el teorema de la envolvente tenemos:

$$\frac{\partial V}{ \partial r} = \frac{\partial \mathcal{L}^*(K^*(r),L^*(r),\lambda(r),r)}{ \partial r}$$

Si aplicamos esto a su problema:

$$\mathcal{L} = wL+rK - \lambda (K^{\alpha}L^{1-\alpha} - \bar{Y})$$

Así que nuestros FOCs son:

$$ w - (1-\alpha)\lambda K^{\alpha}L^{-\alpha} = 0$$

$$ r - (\alpha)\lambda K^{\alpha-1}L^{1-\alpha} = 0$$

$$K^{\alpha}L^{1-\alpha} = \bar{Y}$$

Así, los valores óptimos de $K$ y $L$ son:

$$K^* = \left(\frac{w}{r} \frac{\alpha}{(1-\alpha)}\right)^{(1-\alpha)} \bar{Y}$$

$$L^* = \left(\frac{r}{w} \frac{1-\alpha}{(\alpha)}\right)^{\alpha} \bar{Y}$$

Así que la función de valor es:

$$V(K,L,r) = w\left(\frac{r}{w} \frac{1-\alpha}{(\alpha)}\right)^{\alpha} \bar{Y}+r\left(\frac{w}{r} \frac{\alpha}{(1-\alpha)}\right)^{(1-\alpha)} \bar{Y}$$

Al tomar $\frac{\partial V}{\partial r}$ puede averiguar cómo se verá afectado el coste por $r$ .

Se podría hacer lo mismo para la salida, pero entonces la función objetivo tiene que ser la salida y hay que utilizar los costes como restricciones.