Parámetro en forma normal NE

Question

$$\begin{aligned} &\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Player 1 / 2}& x & y & z \\ \hline X & a, a & a, 0 & a, 0 \\ \hline Y & 0, a & 3,0 & 0,3 \\ \hline Z & 0, a & 0,3 & 3,0 \\ \hline \end{array} \end{aligned}$$

Considera que $a \in (0, +\infty)$ Sé que si $a=1$ entonces la NE es $(X,x)$ pero no sé cómo resolver el NE cuando $a \in (1,3)$ y $a \in(0,1)$ . Mi intento fue escribir las condiciones de indiferencia para encontrar la estrategia mixta NE pero de alguna manera todavía no llego a una respuesta clara. Tampoco sé si debo considerar todas las posibilidades del soporte o si hay algún atajo.

Answer 1

Tome cualquier $a\in(0,3)$ . Desde $a>0$ X es la mejor respuesta (BR) a x. Ya que $a<3$ Y es BR contra y, y Z es BR contra z. Del mismo modo, x es BR contra X, z contra Y, e y contra Z. Por lo tanto, su única estrategia pura NE es (X,x). Esto último también es cierto si $a=3$ . Si $a>3$ , X y x son estrategias estrictamente dominantes tales que (X,x) es la única NE.

Ahora volvemos al caso $a\in(0,3)$ . Supongamos que 1 se aleatoriza con probabilidades $p_X,p_Y,p_Z$ y 2 se aleatoriza con $q_x,q_y,q_z$ . Si todas esas probabilidades son positivas, ambos deben ser indiferentes a las tres opciones. Sea $\pi^i_a$ sea la retribución esperada del jugador $i$ acción de juego $a$ .

$\pi^2_x=a, \pi^2_y=3p_Z, \pi^2_z=3p_Y$ y el $\pi^1$ se parecen. Se necesita $\pi^2_x=a = \pi^2_y=3p_Z = \pi^2_z=3p_Y$ si 2 deberá aleatorizar sobre los tres. Por lo tanto, necesitamos $p_Y=p_Z=\frac{a}{3}$ que es una probabilidad como $a<3$ . Pero como $p_X+p_Y+p_Z=1$ también necesitamos $a\leq \frac{3}{2}$ . Del mismo ejercicio para el jugador 1, obtenemos $q_y=q_z=\frac{a}{3}$ y también la condición $a\leq \frac{3}{2}$ .

Por lo tanto, si $a<\frac{3}{2}$ tenemos un equilibrio de Nash de estrategia mixta en el que ambos jugadores aleatorizan sobre sus tres acciones con probabilidades $q_y=q_z=pY=p_Z=\frac{a}{3}$ y $q_z=p_Z=1-2\frac{a}{3}=\frac{3-2a}{3}$ . De tal manera que ambos esperan un pago de equilibrio $a$ . Cualquier desviación unilateral también llevaría a un pago $a$ .

También tenemos un equilibrio en el que ambos jugadores sólo aleatorizan sobre $Y,Z$ y $y,z$ respectivamente, todos con probabilidad $\frac{1}{2}$ . En este caso, la utilidad de equilibrio de $\frac{3}{2}$ no puede ser mejorada por una desviación a $X$ o $x$ respectivamente, como $a<\frac{3}{2}$ y las otras dos estrategias puras producen la utilidad de equilibrio por construcción.

Ambos equilibrios no existirían si $a>\frac{3}{2}$ como una desviación a   $X$ o $x$ respectivamente, serían mejores o no se podría cumplir la condición de indiferencia.

Para cualquier $a>0$ no puede haber una NE en la que 1 mezcle entre X e Y y 2 entre x e y, porque 2 sólo puede ser indiferente entre x e y si 1 también juega a Z, $p_Z=0 \Rightarrow \pi^2_x=a>\pi^2_y=0$ . Del mismo modo, las otras combinaciones (como X y Z y x y z) violarían la condición de indiferencia.