Considere un juego $G=(N, (A^i)_{i\in N}, (g^i)_{i\in N})$ , $N=\{1,2,\dots,n\}$ , $A=\Pi_{i\in N}A_i$ es el conjunto de acciones y $g^i:A\to \mathbb{R}$ es la función de recompensa. Esta última puede extenderse desde $\Delta(A)$ que es el conjunto de estrategias (correlacionadas), a la línea real. Si $S$ es una calición, es un miembro no vacío de $2^N$ y $A^S=\Pi_{i\in S}A^i$ es el conjunto de acciones de los miembros de la coalición donde un miembro de $\Delta(A^S)$ se llama $S-$ perfil de la estrategia. También, $-S$ se denota la coalición complementaria. Supongamos que $U$ es el conjunto de perfiles estratégicos no correlacionados y $U^S$ el conjunto de los no correlacionados $S$ -perfiles estratégicos.dado $q\in U$ escribimos $q = (q^S , q^{S})$ donde: $q^S\in U^S$ , $q^{S} \in U^{S}$ . Estoy tratando de entender la intuición de la siguiente definición
$\mathbf{Definition:}$ Un perfil de estrategia no correlacionado $q\in U$ es un $k$ -equilibrio de Nash fuerte si y sólo si para todas las coaliciones $S\subset N$ satisfaciendo $|S|\leq k$ y para cada uno de los casos no correlacionados $S$ -perfil estratégico $p^S \in U^S$ existe un jugador $i \in S$ tal que
$$g^i(q)=g^i(q^S,q^{-S})\geq g^i(p^S,q^{-S})$$
$\textbf{Question:}$ No puedo entender la intuición del $k-$ fuerte N.E. Es un equilibrio donde hasta $k$ los jugadores no tienen incentivos para desviarse del perfil estratégico $q$ . Lo que me confunde es la parte en la que dice que "existe un jugador $i \in S$ " y me pregunto si es suficiente para que la coalición elija el perfil de la estrategia $q$ si y sólo si un miembro de ella, digamos $i$ mejora débilmente con respecto a cualquier otro $(p^S,q^{-S})$ ¿perfil de estrategia?
