Un problema de maximización de beneficios (todo el problema está resuelto, sólo tengo dudas sobre la interpretación)

Question

Me gustaría discutir con usted sobre la siguiente función de producción.

$$y=f(t_m, t_l)=\rho t_m^m(n+t_l)$$

donde $0<m<1 $ y $n>0$ son parámetros fijos.

$t_m$ es el tiempo del gerente.

$t_l$ es el tiempo de trabajo.

El gerente conoce la función de producción libremente.

También vamos a definir $w_m$ = salario del gerente y $w_l$ = salario de la mano de obra para $w_m>w_l>0$

$\rho$ es el precio de mercado del bien.

Notas extra:

- la opción exterior del directivo= el salario del directivo en la economía

-el gerente va a dirigir su propia empresa si la establece.

Hasta ahora, he definido la función de producción.

Cómo tengo dos preguntas que me gustaría discutir con usted.

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¿Cómo puedo interpretar los parámetros $n$ y $m$ ? Es fácil interpretarlos matemáticamente, pero no pude decidir cómo hacer un comentario sobre estos parámetros en términos económicos

Cuando tomo derivados

$\partial y/\partial t_l= t_m ^m>0$ lo que significa que a medida que aumenta el tiempo de la mano de obra, aumenta la producción, aumentan los ingresos y, por tanto, el beneficio.

$\partial y/\partial t_m= m t_m ^{m-1}(n+t_l)>0$ lo que significa que, a medida que aumenta el tiempo del gestor, la producción se incrementa de forma atenuada (ya que $m-1<0$ ) y los ingresos aumentan de forma decreciente, por lo que los beneficios aumentan de forma decreciente. ( Yo hice este comentario. Pero no creo que sea suficiente o correcto desde el punto de vista económico. ¿Cómo puedo decirlo correctamente?)

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Mi pregunta importante es esa.

¿En qué condiciones el directivo crea una empresa y decide entrar en la industria?

Para ello, en primer lugar, establezco el problema de decisión del gestor como sigue:

Ingresos = $\rho y= \rho t_m^m(n+t_l)$

Coste= $t_m w_m + t_l w_l$

Beneficio = $\pi = \rho t_m^m(n+t_l) -( t_m w_m + t_l w_l)$

Así que su problema de decisión:

$$\max \rho t_m^m(n+t_l) -( t_m w_m + t_l w_l)$$

Sujeto a $w_m>w_l>0$ y $0<m<1$ y $n,p>0$

Cuando lo resolvemos

$\partial \pi/\partial t_m= \rho m t_m ^{m-1}(n+t_l) -w_m=0 $

$w_m= \rho m t_m ^{m-1}(n+t_l)$

$\partial \pi/\partial t_l=\rho t_l ^m-w_l=0$

$w_l= \rho t_m ^m$

Así que sabemos que $w_m>w_l>0$

$$ \rho m t_m ^{m-1}(n+t_l)> \rho t_m^{m}$$

$$n+t_l>{t_m\over m} $$

Sólo encuentro esta condición para establecer una empresa. ( No estoy seguro, pero espero que sea cierto) Pero no puedo decir algo al respecto en vista económico.

Lo resolví todo, sólo discutí lo que hice. ¿Es correcto o falso? ¿O cómo puedo interpretarlos en el aspecto económico?

Muchas gracias.

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EDITAR

Del problema de maximización anterior, obtuve las siguientes soluciones:

Y de $w_l= \rho t_m ^m$

Me sale $$t^*_m=(w_l/\rho)^{1/m}$$

Desde $w_m= \rho m t_m ^{m-1}(n+t_l)$

Me sale $$t^*_l= {w_m\over m}p^{1-m/m}w_l^{1-m/m}-n$$

Cuando inserto estos dos $t^*_l$ y $t^*_m$ en la función de beneficios, obtengo

$$\pi^*=w_l^{1/m}w_m \rho^{1-m/m} {1\over m} (2-mp^{1/m-1})-nw_l$$

Entonces, cuando comparo esto con la opción exterior $w_m$ , entonces obtengo

$$\pi^*=w_l^{1/m}w_m \rho^{1-m/m} {1\over m} (2-mp^{1/m-1})-nw_l>= w_m$$

Pero este resultado no tiene sentido. No pude hacer ninguna interpretación razonable.

Answer 1

Su función de producción es básicamente una función Cobb-Douglas de la forma $y=A(t_m-a)^\alpha(t_l-b)^\beta$ . Por lo tanto, los parámetros $\alpha$ y $\beta$ miden la intensidad con la que se necesitan los insumos para la producción. Cuanto menor sea el valor de estos parámetros, menor será la productividad marginal de los insumos. En su contexto, la empresa es más intensiva en mano de obra que en gestión, ya que $\alpha=m<1$ y $\beta=1$ . Por último, los parámetros $a$ y $b$ medir el nivel mínimo que necesita la empresa de cada insumo para poder funcionar. En su caso, $a=0$ por lo que la empresa necesita una dirección para funcionar. Sin embargo, $b=-n$ para que la empresa pueda producir aunque $t_l$ era igual a cero. Obsérvese que cuanto mayor sea el $n$ cuanto menos necesita la empresa de mano de obra.

De hecho, aunque has encontrado dos ecuaciones que caracterizan el equilibrio creo que quieres resolver para $t_m$ y $t_l$ en términos de parámetros solamente (verá que si $n$ es muy grande, el óptimo $t_l$ es cero. Después de eso, introduciría los resultados en la función de beneficios, que le dirá cuánto beneficio obtendrá el gestor si decide entrar en el sector, y podrá compararlo con la opción exterior.

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Solución:

Para que el directivo opere la empresa, la función de beneficio debe ser mayor que la opción exterior. Voy a suponer que si ella opera la empresa, como es la gerente, no necesita pagarse a sí misma, por lo que los costes son sólo $w_lt_l^*$ pero su opción exterior es igual a $w_mt_m^*$ , los ingresos laborales que obtendrá trabajando para una empresa similar que demande la mano de obra óptima para la gestión. Por lo tanto, ella opera la empresa si el beneficio $\pi =\rho t_m^m(n+t_l)-w_lt_l-w_mt_m\geq 0$ .

Caso 1 (Supongamos que $t_m^*, t_l>0^*$ )

Resolviendo los FOC's, obtenemos $$t_m^*=\left(\frac{w_l}{\rho}\right)^{\frac1m} \qquad t_l^*=\frac{w_m}{m \cdot w_l}\left(\frac{w_l}{\rho}\right)^{\frac1m}-n$$

$$\pi^*=\frac{w_m}{m}\left(\frac{w_l}{\rho}\right)^{\frac1m}-w_m\left(\frac{w_l}{\rho}\right)^{\frac1m}-w_l\left(\frac{w_m}{m\cdot w_l}\left(\frac{w_l}{\rho}\right)^{\frac1m}-n\right)=w_ln-w_m\left(\frac{w_l}{\rho}\right)^{\frac1m}$$ Por lo tanto, $\pi^*\geq 0$ si $$w_ln\geq w_m\left(\frac{w_l}{\rho}\right)^{\frac1m}$$ Sin embargo, asumimos que $t_l^*>0$ así que $$\frac{w_m}{m}\left(\frac{w_l}{\rho}\right)^{\frac1m}\geq w_ln$$

Las dos desigualdades pueden cumplirse ya que $1 > m$ . Se trata de condiciones necesarias para que el directivo opere la empresa y exija un trabajo estrictamente positivo. Yo las interpretaría como $w_ln$ debe ser intermedio.

Caso 2: ( $t_m^*>0$ y $t_l^*=0$ )

Este caso se da si $$\frac{w_m}{m}\left(\frac{w_l}{\rho}\right)^{\frac1m}\leq w_ln$$ Obsérvese que (después de hacer algo de álgebra) la función de beneficio óptima $\pi^*$ sigue siendo mayor que cero si $$w_ln\geq{w_m}\left(\frac{w_l}{\rho}\right)^{\frac1m}$$ En este caso, si se cumple la primera desigualdad, también se cumple la segunda.

Conclusión Juntando los dos casos llegamos a la conclusión de que el directivo explota su empresa si y sólo si $$w_ln\geq{w_m}\left(\frac{w_l}{\rho}\right)^{\frac1m}$$ A veces contratará a trabajadores en su empresa (si $w_ln$ no es demasiado grande) y a veces no lo hará.